Багатопараметрична ідентифікація теплофізичних характеристик шляхом розв’язання внутрішньої оберненої задачі теплопровiдностi

Автори

Ю. М. Мацевитий, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: matsevit@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0002-6127-0341

В. В. Ганчин, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: gan4ingw@gmail.com, ORCID: 000-0001-9242-6460

Анотація

Розроблено підходи до ідентифікації теплофізичних характеристик з використанням методів  розв’язання обернених задач теплопровідності і методу регуляризації А. М. Тихонова. За результатами проведеного експерименту визначаються залежні від температури коефіцієнт теплопровідності, теплоємність, внутрішні джерела теплоти. При цьому теплофізичні характеристики апроксимуються кубічними сплайнами Шьонберга, внаслідок чого їх ідентифікація зводиться до визначення невідомих коефіцієнтів в апроксимаційних залежностях. Отже, температура в тілі буде залежати від цих коефіцієнтів і її можна буде зобразити, використовуючи два члени ряду Тейлора як лінійну комбінацію її частинних похідних з невідомих коефіцієнтів, помножених на приріст цих коефіцієнтів. Підставляючи цей вираз в функціонал Тихонова і використовуючи властивість мінімуму квадратичного функціонала, можна звести розв’язок задачі до розв’язання системи лінійних рівнянь щодо збільшень невідомих коефіцієнтів. Вибравши для початкового наближення певний параметр регуляризації і деякі функції, можна реалізувати ітераційний процес, в якому вектор невідомих коефіцієнтів для поточної ітерації буде дорівнювати сумі вектора коефіцієнтів з попередньої ітерації і вектора приростів цих коефіцієнтів внаслідок розв’язання системи лінійних рівнянь. Такий ітераційний процес з ідентифікації теплофізичних характеристик для кожного параметра регуляризації дає можливість визначити середньоквадратичний відхил між одержуваною температурою і температурою, яку виміряли внаслідок проведеного експерименту. Залишається підібрати параметр регуляризації таким чином, щоб цей відхил був в межах середньоквадратичної похибки  вимірювань. Такий пошук, наприклад, ідентичний алгоритмам пошуку кореня нелінійного рівняння. Під час перевірки ефективності використання запропонованого методу було розв’язано низку тестових задач для тіл з відомими теплофізичними характеристиками. Проведено аналіз впливу випадкових похибок вимірювань на похибку ідентифікованих теплофізичних характеристик досліджуваного тіла.

Ключові слова: обернена задача теплопровідності, метод регуляризації А. М. Тихонова, стабілізуючий функціонал, параметр регуляризації, ідентифікація, апроксимація, кубічні сплайни Шьонберга.

Література

1. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. (мл.) Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 312 с.
2. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: в 2-х т. Т. 1. Методология. Киев: Наук. думка, 2002. 408 с.
3. Коздоба Л. А., Круковский П. Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. Киев: Наук. думка, 1982. 360 с.
4. Алифанов, О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.
5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
6. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П. Некорректные многопараметрические задачи теплопроводности и регионально-структурная регуляризация их решений. Киев: Наук. думка, 2014. 292 с.
7. Мацевитый Ю. М., Мултановский А. В. Одновременная идентификация теплофизических характеристик сверхтвердых материалов. Теплофизика высоких температур. 1990. № 5. С. 924–929.
8. Круковский П. Г. Обратные задачи тепломассопереноса (общий инженерный подход). Киев: Ин-т техн. теплофизики НАН Украины, 1998. 224 с.
9. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962. 68 с.
10. Иванов В. К., Васин В. В., Танака В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М: Наука, 1978. 208 с.
11. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966. 596 с.
12. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П., Ганчин В. В. Регионально-аналитическое моделирование и идентификация тепловых потоков с использованием метода регуляризации А. Н. Тихонова. Пробл. машиностроения. 1999. Т. 2. № 1–2. С. 34–42.
13. Мацевитый Ю. М., Сафонов Н. А., Ганчин В. В. К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности. Пробл. машиностроения. 2016. Т. 19. № 1. С. 28–36. https://doi.org/10.15407/pmach2016.01.028.

Надійшла до редакції 02 березня 2020 р.