До розв’язання геометричних обернених задач теплопровідності

Автори

Ю. М. Мацевитий, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: matsevit@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0002-6127-0341

В. В. Ганчин, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: gan4ingw@gmail.com, ORCID: 0000-0001-9242-6460

Анотація

На основі теорії регуляризації А. М. Тихонова розроблена методика розв’язання обернених задач теплопровідності з ідентифікації гладкої зовнішньої межі двовимірної області за відомих на ній граничних умов. Для цього гладка межа апроксимується кубічними сплайнами Шьонберга, внаслідок чого її ідентифікація зводиться до визначення невідомих коефіцієнтів в цій апроксимації. За відомих граничних і початкових умов температура в тілі буде залежати тільки від цих коефіцієнтів. Виразивши її за формулою Тейлора для двох членів ряду і підставивши в функціонал Тихонова, задачу визначення збільшень коефіцієнтів можна звести до розв’язання системи лінійних рівнянь щодо цих збільшень. Вибравши певний параметр регуляризації і деяку функцію, яка описує форму зовнішньої межі, як початкове наближення, можна реалізувати ітераційний процес. У цьому процесі вектор невідомих коефіцієнтів для поточної ітерації буде дорівнювати сумі вектора коефіцієнтів з попередньої ітерації і вектора приростів цих коефіцієнтів, отриманих в результаті розв’язання системи лінійних рівнянь. Отримавши вектор коефіцієнтів в результаті збіжного ітераційного процесу, можна визначити середньоквадратичний відхил між одержуваною температурою і температурою, що вимірюється в результаті проведеного експерименту. Залишається підібрати параметр регуляризації таким чином, щоб цей відхил був у межах середньоквадратичної похибки помилки вимірювань. У самій методиці та шляхах її реалізації полягає новизна викладеного у статті матеріалу в порівнянні з підходами інших авторів до розв’язання обернених геометричних задач теплопровідності. Під час перевірки ефективності використання запропонованої методики розв’язано низку двовимірних тестових задач для тіл з відомим розташуванням зовнішньої межі. Проведено аналіз впливу випадкових похибок вимірювань на похибку ідентифікації форми зовнішньої межі.

Ключові слова: геометрична обернена задача теплопровідності, метод регуляризації А. М. Тихонова, стабілізуючий функціонал, параметр регуляризації, ідентифікація, апроксимація, кубічні сплайни Шьонберга.

Література

1. Мацевитый Ю. М., Костиков А. О. Геометрические обратные задачи теплообмена. Киев: Наук. думка, 2014. 223 с.
2. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: в 2-х т. Т. 1: Методология. Киев: Наук. думка, 2002. 408 с.
3. Алифанов  О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.
4. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
5. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. (мл.) Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 312 с.
6. Костиков А. О. Единый методологический подход к постановке и решению геометрических обратных задач теплопроводности. Пробл. машиностроения. 2004. Т. 7. № 4. С. 52–60.
7. Круковский П. Г. Обратные задачи тепломассопереноса (общий инженерный подход). Киев: Ин-т техн. теплофизики НАН Украины, 1998. 224 с.
8. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962. 68 с.
9. Matsevytyi, Yu. M. & Hanchyn, V. V. Multiparametric identification of several thermophysical characteristics by solving the internal inverse heat conduction problem. J. Mech. Eng. 2020. Vol. 23. No. 2. P. 14–20. https://doi.org/10.15407/pmach2020.02.014.
10. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 596 с.
11. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П., Ганчин В. В. Регионально-аналитическое моделирование и идентификация тепловых потоков с использованием метода регуляризации А. Н. Тихонова. Пробл. машиностроения. 1999. Т. 2. № 1–2. С. 34–42.
12. Мацевитый Ю. М., Сафонов Н. А., Ганчин В. В. К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности. Пробл. машиностроения. 2016. Т. 19. № 1. С. 28–36. https://doi.org/10.15407/pmach2016.01.028.

Надійшла до редакції 09 грудня 2020 р.