НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В КОНЕЧНОМ ЦИЛИНДРЕ С КРУГОВОЙ ТРЕЩИНОЙ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ КРУЧЕНИИ

image_print
DOI https://doi.org/10.15407/pmach2018.04.022
Журнал Проблемы машиностроения
Издатель Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного Национальной академии наук Украины
ISSN 0131-2928 (print), 2411-0779 (online)
Выпуск Том 21, № 4, 2018 (декабрь)
Страницы 22-29

 

Авторы

А. В. Демидов, Национальный университет «Одесская морская академия», (65029, Украина, г. Одесса, ул. Дидрихсона, 8), e-mail: alexandr.v.demidov@gmail.com, ORCID: 0000-0002-9841-8637

В. Г. Попов, Национальный университет «Одесская морская академия», (65029, Украина, г. Одесса, ул. Дидрихсона, 8), e-mail: dr.vg.popov@gmail.com, ORCID: 0000-0003-2416-642X

 

Аннотация

В статье решена осесимметричная динамическая задача по определению напряженного состояния в окрестности круговой трещины в конечном цилиндре. Нижнее основание цилиндра жестко закреплено, а верхнее нагружено тангенциальными напряжениями, зависящими от времени. В отличие от традиционных аналитических методов, основанных на использовании интегрального преобразования Лапласа, предложенный метод заключается в разностной аппроксимации только производной по времени. Для этого используются специальным образом подобранные неравноудаленные узлы и специальное представление решения в этих узлах. Такой подход позволяет свести исходную задачу к последовательности краевых задач для однородного уравнения Гельмгольца. Каждая такая задача решается путем применения конечных интегральных преобразований Фурье и Ганкеля с их дальнейшим обращением. В результате было получено интегральное представление для углового перемещения через неизвестный скачок этого перемещения в плоскости трещины. Относительно производной этого скачка с граничного условия на трещине получено интегральное уравнение, которое в результате применения интегрального оператора Вебера-Сонина и ряда преобразований сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго роду относительно неизвестной функции, связанной со скачком. Приближенное решение этого уравнения выполнено методом колокаций, причем интегралы приближали квадратурными формулами Гаусса-Лежандра. Найденное численное решение дало возможность получить приближенную формулу для расчета коэффициента интенсивности напряжений (КИН). Используя эту формулу, проведены исследования влияния характера нагружения и геометрических параметров цилиндра на повременную зависимость этого коэффициента. Анализ результатов показал, что во всех рассмотренных видах нагружения максимум значений КИН наблюдается во время переходного процесса. Во время приложения внезапного постоянного нагружения этот максимум у 2–2,5 раза превосходит статическое значение. В случае внезапного гармонического нагружения максимум КИН тоже значительно превосходит значения, которых он достигает при установившихся колебаниях в отсутствии резонанса. Увеличение высоты цилиндра и уменьшение площади трещины приводят к увеличению продолжительности переходного процесса и уменьшению величины максимума КИН. Такой же эффект наблюдается, когда плоскость трещины приближается к неподвижному концу цилиндра.

 

Ключевые слова: коэффициент интенсивности напряжений (КИН), осесимметричная динамическая задача, конечные разности по времени, конечный цилиндр, круговая трещина, крутящий момент

 

Литература

  1. Akiyama T., Hara T., Shibuya T. Torsion of an infinite cylinder with multiple parallel circular cracks. Theor. Appl. Mech. 2001. Vol. 50. P. 137–143. https://doi.org/10.11345/nctam.50.137
  2. Lee Doo-Sung. Penny-shaped crack in a long circular cylinder subjected to a uniform shearing stress. Eur. J. Mech. A. Solids. 2001. Vol. 20. No. 2. P. 227–239. https://doi.org/10.1016/S0997-7538(00)01125-6
  3. Huang G.-Y., Wang Y.-S., Yu S.-W. Stress concentration at a penny-shaped crack in a nonhomogeneous medium under torsion. Acta Mech. 2005. Vol. 180. Iss. 1–4. P. 107–115. https://doi.org/10.1007/s00707-005-0263-x
  4. Jia Z. H., Shippy D. J., Rizzo F. J. Three-dimensional crack analysis using singular boundary elements. Int. J. Numer. Methods Eng. 1989. Vol. 28. Iss. 10. P. 2257–2273. https://doi.org/10.1002/nme.1620281005
  5. Kaman M. O., Gecit M. R. Cracked semi-infinite cylinder and finite cylinder problems. Int. J. Eng. Sci. 2006. Vol. 44. Iss. 20. P. 1534–1555. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2006.08.009
  6. Qizhi W. A note on the crack-plane stress field method for analysing SIFs and its application to a concentric penny-shaped crack in a circular cylinder opened up by constant pressure. International Journal of Fracture. 1994. Vol. 66. Iss. 4. P. R73–R76. https://doi.org/10.1007/BF00018445
  7. Martin P. A., Wickham G. R. Diffraction of elastic waves by a penny-shaped crack: analytical and numerical results. Proc. R. Soc. London A Math. Phys. Eng. Sci. 1983. Vol. 390. Iss. 1798. P. 91–129. https://doi.org/10.1098/rspa.1983.0124
  8. Гузь А., Зозуля В. Хрупкое разрушение материалов при динамических нагрузках. Киев: Наук. думка, 1993. 236 c.
  9. Singh B. M., Haddow J. B., Vrbik J., Moodie T. B. Dynamic stress intensity factors for penny-shaped crack in twisted plate. J. Appl. Mech. 1980. Vol. 47. Iss. 4. P. 963–965. https://doi.org/10.1115/1.3153826
  10. Srivastava K. N., Palaiya R. M., Gupta O. P. Interaction of elastic waves with a penny-shaped crack in an infinitely long cylinder. J. Elast. 1982. Vol. 12. Iss. 1. P. 143–152. https://doi.org/10.1007/BF00043709
  11. Popov V. H. Torsional oscillations of a finite elastic cylinder containing an outer circular crack. Mater. Sci. 2012. Vol. 47. Iss. 6. P. 746–756. https://doi.org/10.1007/s11003-012-9452-7
  12. Попов В. Г. Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною. Фізико-хім. механіка матеріалів. 2011. № 6. С. 30–38.
  13. Ivanytskyi Ya. L., Boiko V. M., Khodan’ I. V., Shtayura S. T. Stressed state of a cylinder with external circular crack under dynamic torsion. Mater. Sci. 2007. Vol. 43. Iss. 2. P. 203–214. https://doi.org/10.1007/s11003-007-0023-2
  14. Andreikiv O. E., Boiko V. M., Kovchyk S. E., Khodan’ I. V. Dynamic tension of a cylindrical specimen with circumferential crack. Mater. Sci. 2000. Vol. 36. Iss. 3. P. 382–391. https://doi.org/10.1007/BF02769599
  15. Попов П. В. Задача про кручення скінченного циліндра з кільцевою тріщиною. Машинознавство. 2005. № 9. С. 15–18.
  16. Демидов О. В., Попов В. Г. Нестационарний закрут скінченного циліндру з круговою тріщиною. Вісн. За-поріз. нац. ун-ту. Фізико-мат. науки. 2017. № 1. С. 131–142.
  17. Savruk M. P. New method for the solution of dynamic problems of the theory of elasticity and fracture mechanics. Mater. Sci. 2003. Vol. 39. Iss. 4. P. 465–471. https://doi.org/10.1023/B:MASC.0000010922.84603.8d
  18. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 c.

 

Поступила в редакцию 11 сентября 2018 г.