Адаптивное вычисление длин кривых, задаваемых недифференцируемыми функциями

image_print
DOI https://doi.org/10.15407/pmach2020.01.065
Журнал Проблемы машиностроения
Издатель Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного Национальной академии наук Украины
ISSN 0131-2928 (print), 2411-0779 (online)
Выпуск Том 23, № 1, 2020 (март)
Страницы 65-72

 

Авторы

Г. А. Шелудько, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10)

С. В. Угримов, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: sugrimov@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0002-0846-4067

 

Аннотация

Измерение длин кривых достаточно распространено при решении различных задач. Если функция, задающая кривую, дифференцируема, то вычисление длины является относительно простой математической операцией. При отсутствии начальной информации о функции приходится применять приближенные методы. Какой из этих методов целесообразно использовать для конкретной функции, обычно решает сам пользователь. Одним из важных факторов, влияющих на выбор метода, является имеющийся ресурс времени на предварительный анализ функции и согласование с начальными данными, которые включают необходимую точность результата и общие численные затраты. В статье предлагается метод, основанный на апостериорном подходе к проблеме, когда анализ характера поведения функции осуществляется в самом процессе приближенного измерения длины кривой в заданной области. Такой способ стал возможным благодаря введению пошагового адаптивного механизма, реагирующего на отклонение кривой функции от аппроксимирующей ее ломаной. В конечном итоге принятый локальный анализ вследствие адаптации позволил проходить участки с большой крутизной кривой с малым шагом, а пологие – с большим. При особенно резком изменении функции (например, в подобластях с особенностями) основной адаптивный механизм наделен возможностью выхода за границы принятого набора констант без серьезных усложнений алгоритма. Таким образом, отпала необходимость в предварительном анализе характера поведения функции, не обязательно регулярной, и выявлении особенностей (изломы, экстремальные точки и т.п.), их числа и места. Для вычисления длины кривой достаточно задать функцию на данной области и необходимую точность, ограниченную минимальным шагом, не заботясь об использовании каких-то вспомогательных таблиц и весовых коэффициентов. Проведенный численный эксперимент на тестовом наборе функций разной сложности показал преимущество предлагаемого подхода над сеточными методами, особенно с равноотстоящими узлами.

 

Ключевые слова: недифференцируемая функция, кусочно-линейное приближение, адаптивный пошаговый выбор узлов, индекс эффективности.

 

Полный текст: загрузить PDF

 

Литература

  1. Шор Н. З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наук. думка, 1979. 200 с.
  2. Демьянов В. Ф., Виноградова Т. К., Никулина В. Н. Недифференцируемая оптимизация. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 324 с.
  3. Гупал А. М. Минимизация недифференцируемых функций. Автоматика и телемеханика. 1974. № 4. С. 61–64.
  4. Шелудько Г. А., Угримов С. В. Адаптивная гибридизация. Х.: Міськдрук, 2011. 308 с.
  5. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Mашинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.
  6. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.: Гостехиздат, 1954. 98 с.
  7. Мелентьев П. В. Приближенные вычисления. М.: Физматгиз, 1962. 388 с.
  8. Чебышев П. Л. О функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых величинах переменных: в 5 т. Т. 3: Математический анализ. 1948. 412 с.
  9. Бахвалов Н. С. Об алгоритмах выбора шага интегрирования. Вычисл. методы и программирование. 1966. Вып. 5. С. 33–38.
  10. Runge C. Über empirische funktionen und die interpolation zwischen äquidistanten en ordinaten . Zeitschriftfür Mathematik und Physik. 1901. Vol. 46. P. 224–243.
  11. Гинзбург Б. Л. Формулы численных квадратур, наиболее выгодные для применения. Уcп. мат. наук. 1954. Т. 9. Вып. 2 (60). С. 137–142.
  12. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2018. 636 с.
  13. Sheludko G. A., Ugrimov S. V. Modernization adaptive piecewise linear approximation of difficult-to-compute functions. J. Mech.Eng. 2018. Vol. 21. No. 2. P. 60–67.
  14. Пукк Р. А. Алгоритм интегрирования, учитывающий степень гладкости функций. Изв. АН ЭССР. Физика. Математика.1970. Т. 19, № 3. С. 368–370.
  15. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. М: Мир, 1964. 360 с.
  16. Gander W., Gautschi W. Adaptive quadrature – revisited. BIT Numerical Math. 2000. Vol. 40. Iss. 1. P. 84–101. https://doi.org/10.1023/A:1022318402393.
  17. Шелудько Г. А. Адаптивное интегрирование. АН Украины. Ин-т проблем машиностроения. Харьков. 1973. 12 с. Деп. ВИНИТИ 26.07.73. № 7753.
  18. Шелудько Г. А., Угримов С. В. Адаптивные решения некоторых задач вычислительной математики. Харьков: Ин-т проблем машиностроения АН Украины, 1997. 37 с.
  19. McKeeman W. M. Algorithm 145: adaptive integration bi Simpson¢s rule. Communication of the Association for Computing Machinery. 1962. Vol. 5. Iss. 12. P. 604.  https://doi.org/10.1145/355580.369102.
  20. Рабинович Е. В., Рубан А. А., Цапенко М. П., Шефель Г. С. Адаптивная кусочно-линейная аппроксимация. Автометрия.1993. № 1. С. 26–29.
  21. Shekel J. Test functions for multi-modal search techniques. Proc. 5th Annu. Princeton Conf. Inform. Sci. and Syst. 1971. P. 354–359.
  22. Шелудько Г. А., Шупіков О. М., Сметанкіна Н. В., Угрімов С. В. Прикладний адаптивний пошук. Х.: Око, 2001. 191 с.
  23. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 219 с.

 

Поступила в редакцию 07 февраля 2020 г.

Принята в печать