К решению геометрических обратных задач теплопроводности

image_print
DOI https://doi.org/10.15407/pmach2021.01.006
Журнал Проблемы машиностроения
Издатель Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного Национальной академии наук Украины
ISSN 2709-2984 (print), 2709-2992 (online)
Выпуск Том 24, № 1, 2021 (март)
Страницы 6–12

 

Авторы

Ю. М. Мацевитый, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: matsevit@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0002-6127-0341

В. В. Ганчин, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: gan4ingw@gmail.com, ORCID: 0000-0001-9242-6460

 

Аннотация

На основе теории регуляризации А. Н. Тихонова разработана методика решения обратных задач теплопроводности по идентификации гладкой внешней границы двухмерной области при известном граничном условии. Для этого идентифицируемая гладкая граница аппроксимируется кубическими сплайнами Шёнберга, в результате чего ее идентификация  сводится к определению неизвестных коэффициентов аппроксимации. При известных граничных и начальных условиях температура в теле будет зависеть только от этих коэффициентов. Выразив ее по формуле Тейлора для двух членов ряда и подставив в функционал Тихонова, задачу определения приращений коэффициентов можно свести к решению системы линейных уравнений относительно этих приращений. Выбрав некоторый параметр регуляризации и некоторую функцию, описывающую форму внешней границы, в качестве начального приближения, можно реализовать итерационный процесс. В этом процессе вектор неизвестных коэффициентов для текущей итерации будет равен сумме вектора коэффициентов на предыдущей итерации и вектора приращений данных коэффициентов, полученных в результате решения системы линейных уравнений. Получив вектор коэффициентов в результате сходящегося итерационного процесса, можно определить среднеквадратическую невязку между получаемой температурой и температурой, измеренной в результате проведенного эксперимента. Остается подобрать параметр регуляризации таким образом, чтобы эта невязка была в пределах среднеквадратичной погрешности ошибки измерений. В самой методике и путях ее реализации заключается новизна изложенного в статье материала по сравнению с подходами других авторов к решению обратных геометрических задач теплопроводности. При проверке эффективности использования предложенной методики решен ряд двухмерных тестовых задач для тел с известным расположением внешней границы. Проведен анализ влияния случайных погрешностей измерений на погрешность идентификации формы внешней границы.

Ключевые слова: геометрическая обратная задача теплопроводности, метод регуляризации А. Н. Тихонова, стабилизирующий функционал, параметр регуляризации, идентификация, аппроксимация, кубические сплайны Шёнберга.

 

Полный текст: загрузить PDF

 

Литература

  1. Мацевитый Ю. М., Костиков А. О. Геометрические обратные задачи теплообмена. Киев: Наук. думка, 2014. 223 с.
  2. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: в 2-х т. Т. 1: Методология. Киев: Наук. думка, 2002. 408 с.
  3. Алифанов  О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.
  4. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
  5. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. (мл.) Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 312 с.
  6. Костиков А. О. Единый методологический подход к постановке и решению геометрических обратных задач теплопроводности. Пробл. машиностроения. 2004. Т. 7. № 4. С. 52–60.
  7. Круковский П. Г. Обратные задачи тепломассопереноса (общий инженерный подход). Киев: Ин-т техн. теплофизики НАН Украины, 1998. 224 с.
  8. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962. 68 с.
  9. Matsevytyi, Yu. M. & Hanchyn, V. V. Multiparametric identification of several thermophysical characteristics by solving the internal inverse heat conduction problem. J. Mech. Eng. 2020. Vol. 23. No. 2. P. 14–20. https://doi.org/10.15407/pmach2020.02.014.
  10. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 596 с.
  11. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П., Ганчин В. В. Регионально-аналитическое моделирование и идентификация тепловых потоков с использованием метода регуляризации А. Н. Тихонова. Пробл. машиностроения. 1999. Т. 2. № 1–2. С. 34–42.
  12. Мацевитый Ю. М., Сафонов Н. А., Ганчин В. В. К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности. Пробл. машиностроения. 2016. Т. 19. № 1. С. 28–36. https://doi.org/10.15407/pmach2016.01.028.

 

Поступила в редакцию 09 декабря 2020 г.