Адаптивный метод численного дифференцирования трудновычислимых функций

image_print
DOI https://doi.org/10.15407/pmach2021.02.059
Журнал Проблемы машиностроения
Издатель Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного Национальной академии наук Украины
ISSN 2709-2984 (print), 2709-2992 (online)
Выпуск Том 24, № 2, 2021 (июнь)
Страницы 59–67

 

Авторы

Г. А. Шелудько, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), ORCID: 0000-0003-4171-9591

С. В. Угримов, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: sugrimov@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0002-0846-4067

 

Аннотация

Рассмотрен адаптивный подход к численному дифференцированию трудновычислимых функций. Сложные зависимости, являющиеся результатом многократных суперпозиций функций или продуктом различных алгоритмических процессов, трудны для непосредственного исследования. Для установления характера поведения таких зависимостей приходится прибегать к численному анализу. Одной из важных характеристик функций является производная, указывающая направление и быстроту изменения зависимости. Однако при трудновычислимых функциях имеющейся априорно информации не всегда достаточно, чтобы известными средствами можно было бы достичь надлежащей точности решения. Потеря точности происходит за счёт накопления ошибок округления, растущих пропорционально количеству вычисленных значений функции. В этом случае приходится переходить к апостериорному подходу, чтобы определить поведение функции и отойти от схемы равноотстоящих узлов, опираясь на адаптивный способ изучения локальной обстановки в области определения функции. В статье реализован  адаптивный метод поиска производных функции при минимуме ограничительных требований к классу функций и формы их задания. Благодаря этому значительно уменьшились затраты на вычисление функции, в результате чего количество вычислений было доведено почти до оптимального уровня. При этом резко снизился объём используемой оперативной памяти. Отсутствует необходимость в предварительном анализе задачи по установлению класса исследуемой функции, в привлечении спецфункций или преобразовании начальных  условий для использования стандартных таблиц весовых коэффициентов и т.п. Для исследования достаточно задать непрерывную и ограниченную функцию на фиксированном отрезке и минимальный шаг, косвенно отвечающий за обеспечение необходимой точности дифференцирования. Эффективность предложенного метода демонстрируется на ряде тестовых примеров. Разработанный метод может быть использован в более сложных задачах, например, при решении некоторых типов дифференциальных и интегральных уравнений, а также для широкого ряда задач оптимизации в самых разнообразных областях прикладного анализа и синтеза.

 

Ключевые слова: недифференцируемая функция, кусочно-линейное приближение, адаптивный пошаговый  выбор узлов.

 

Полный текст: загрузить PDF

 

Литература

  1. Mhaskar H. N., Naumova V., Pereverzyev S. V. Filtered Legendre expansion method for numerical differentiation at the boundary point with application to blood glucose predictions. Appl. Mathematics and Computation. 2013. Vol. 224. P. 835–847, https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.09.015.
  2. Шелудько Г. А., Шупіков О. М., Сметанкіна Н. В, Угрімов С. В. Прикладний адаптивний пошук. Х.: Око, 2001. 188 c.
  3. Grakovski A., Alexandrov A. Spectral method for numerical calculation of derivatives in digital processing of subsurface radar sounding signals. Math. Modellingand Analysis. 2005. Vol. 10. No.1. P. 31–40. https://doi.org/10.1080/13926292.2005.9637268.
  4. Zhao Z. A Hermite extension method for numerical differentiation. Appl. Numerical Mathematics. 2021. Vol. 159. P. 46–60. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2020.08.016.
  5. Il’in V. P., Zadorin A. I. Adaptive formulas of numerical differentiation of functions with large gradients. J.: Conf. Series. 2019. Vol. 1260. Iss. 4. P. 042003-1–042003-7. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1260/4/042003.
  6. Lu S., Pereverzev S. V. Numerical differentiation from a viewpoint of regularization theory. Mathematics Computation. 2006. Vol. 75. No. 256. P. 1853–1870. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-06-01857-6.
  7. Zhao Z., You L. A numerical differentiation method based on legendre expansion with super order Tikhonov regularization. Appl. Mathematics and Computation. 2021. Vol. 393. https://doi.org/10.1016/j.amc.2020.125811.
  8. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.: Гостехиздат, 1954. 98 с.
  9. Гончаров В. Л.. Теория интерполирования и приближения функций. Изд. 2. М: Гостехиздат, 1954. 386 с.
  10. Мелентьев П. В.. Приближенные вычисления. М.: Физматгиз, 1966. 388 p.
  11. Чебышев П. Л. О функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых величинах переменных. Полн. собр. соч. в 5 т. Т. 3: Математический анализ. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948. C. 108–127.
  12. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1977. 349 с.
  13. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1964. 385 с.
  14. Шелудько Г. А., Стрельникова Е. А., Кантор Б. Я. Гибридные методы в задачах оптимального проектирования. Поисковые методы. Харьков: Новое слово, 2008. 188 с.
  15. Шелудько Г. А., Угримов С. В. Адаптивная гибридизация. Х.: Міськдрук, 2011. 308 с.
  16. Sheludko G. A., Ugrimov S. V. Modernization adaptive piecewise linear approximation of difficult-to-compute functions. J. Mech Eng. 2018. Vol. 21. No. 2. P. 60–67. https://doi.org/10.15407/pmach2018.02.060.
  17. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 632 с.
  18. Рамм А. Г. О численном дифференцировании. Изв. вузов. Математика. 1968. № 11. С. 131–134.
  19. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509 с.
  20. Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: Наука, 1986. 192 с.
  21. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.
  22. Gander W., Gautschi W. Adaptive quadrature – revisited. BIT Numerical Mathematics. 2000. Vol. 40. Iss. 1. P. 84–101. https://doi.org/10.1023/A:1022318402393.
  23. Mathews J., Fink K. Numerical methods using Matlab. 4nd ed. New Jersey: Prentice-Hall, 2004. 696 p.
  24. Долгополова Т. Ф., Иванов В. К. О численном дифференцировании. Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т. 6. № 3. С. 57–71. https://doi.org/10.1016/0041-5553(66)90145-5.
  25. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 220 с.

 

Поступила в редакцию 29 марта 2021 г.