АДАПТИВНЕ КУСОЧНО-ЛІНІЙНЕ НАБЛИЖЕННЯ ВАЖКООБЧИСЛЮВАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Автори

Г. А. Шелудько, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10)

С. В. Угримов, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: sugrimov@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0002-0846-4067

Анотація

Розв’язання багатьох теоретичних і прикладних задач вимагає одні функціональні залежності заміняти іншими, більш зручними для реалізації конкретної математичної задачі. При цьому інформація про характер вихідної функції може бути недостатньою, а сама функція належати до важкообчислювальних. Точність такої апроксимації залежить від застосовуваних методів, характеру вихідної функції, а також від кількості й вибору вузлів сітки. Простіше всього така апроксимація будується на рівномірній сітці вузлів, що не завжди забезпечує прийнятний результат. Метою статті є розробка ефективних адаптивних методів апроксимації функцій для задач пошуку довжин кривих й обчислення інтегралів в умовах обмеженої інформації про характер самої функції й наявності її похідних. У роботі пропонується адаптивний підхід до апроксимації широкого класу одновимірних функцій. Для апроксимації використовується кусково-лінійне наближення із простим механізмом експонентного адаптивного керування кроковим процесом зі зворотним зв’язком. Можливості такого підходу розглянуті на задачах обчислення довжини кривих і значень визначених інтегралів. Для кожного випадку докладно викладені особливості застосування розробленого підходу. Він не вимагає завдання початкового розподілу вузлів. Метод забезпечує необхідну точність в автоматичному режимі. Результат реалізується за один прохід без будь-яких попередніх перетворень. Вірогідність отриманих результатів підтверджується розв’язанням відомих тестових прикладів. Наведено дані розрахунку ряду визначених інтегралів з різним характером підінтегральної функції. Результати розрахунку запропонованим методом порівнюються з даними, отриманими звичайним методом трапецій. Установлено високу ефективність запропонованого підходу. Запропонований метод відкриває шлях до створення ефективних засобів для розв’язання задач чисельного інтегрування та диференціювання, для розв’язання інтегральних і диференціальних рівнянь і т.п.

Ключові слова: апроксимація, інтерполяція, кусково-лінійне наближення, важкообчислювана функція, індекс ефективності

Література

1. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 219 с.
2. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.: Гостехиздат, 1954. 98 с.
3. Weiershtrass K. Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Funktionen einer reelen Veränderlichn. Sitzungsberichte der Berliner Akademie der Wissenschaften. 1885. P. 633–639.
4. Mhaskar H. N., Pai D. V. Fundamentals of approximation theory. New Delhi: Narosa Publishing House, 2000. 548 p.
5. Trefethen L. N. Approximation theory and approximation practice. Oxford: Oxford University, 2013. 304 p.
6. Richardson F. The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1911. Ser. A. Vol. 210. P. 307–357. https://doi.org/10.1098/rsta.1911.0009
7. Runge C. Über empirische funktionen und die interpolation zwischen äquidistanten en ordinaten. Zeitschrift für Mathematik und Physik. 1901. Vol. 46. P. 224–243.
8. Чебышев П. Л. О функциях, мало уклоняющихся от нуля при некоторых величинах переменных. Собр. соч. Т. 3. 1881. С. 108–127.
9. Faber G. Über die interpolatiorische darstellung stetiger funktionen. Deutsche Mathematiker-Vereinigung Jahresbeucht. 1914. Vol. 23. P. 192–210.
10. Marcinkiewicz J. Sur interpolation d`operations. Comptes rendus de l’Académie des Sci. 1939. Vol. 208. P. 1272–1273.
11. Бернштейн С. Н. О многочленах ортогональных в конечном интервале. Харьков: Гос. науч.-техн. изд-во Украины, 1937. 130 с.
12. Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. The theory of splines and their applications. New York and London: Academic Press, 1967. 284 p.
13. Попов Б. А., Теслер Г. С. Приближение функций сплайнами. Киев: Наук. думка, 1984. 600 с.
14. Рвачёв В. Л., Рвачев В. А. Атомарные функции в математической физике. Математизация знаний и науч.-техн. прогресс. Киев: Наук. думка, 1975. С. 188–199.
15. Рябенький В. С. Локальные формулы гладкого восполнения и гладкой интерполяции по их значениям в узлах неравномерной прямоугольной сетки. М.: Ин-т проблем математики АН СССР, 1974. 42 с. (Препринт. АН СССР. Ин-т проблем математики; 21).
16. Bos L., De Marchi S., Hormann K., Klein G. On the Lebesgue constant of barycentric rational interpolation at equidistant nodes. Numerische Mathematik. 2012. Vol. 121. Iss. 3. P. 461–471. https://doi.org/10.1007/s00211-011-0442-8
17. Bellman R. E. Adaptive Control Processes. A Guided Tour. Princeton Legacy Librar, 2016. 276 p.
18. Бахвалов Н. С. Об алгоритмах выбора шага интегрирования. Вычисл. методы и программирование. 1966. Вып. 5. C. 3–8.
19. Пукк Р. А. Алгоритм интегрирования, учитывающий степень гладкости функций. Изв. АН ЭССР. Физика. Математика. 1970. Т. 19. № 3. C. 368–370.
20.  Шелудько Г. А. Адаптивное интегрирование. АН Украины. Ин-т проблем машиностроения. Харьков, 1973. 12 с. Деп. ВИНИТИ 26.07.73. № 7753.
21. Шелудько Г. А., Угримов С. В. Адаптивные решения некоторых задач вычислительной математики. Харьков: Ин-т проблем машиностроения АН Украины, 1997. 37 с.
22. Gander W., Gautschi W. Adaptive Quadrature – Revisited. BIT Numerical Math. 2000. Vol. 40. Iss. 1. P. 84–101. https://doi.org/10.1023/A:1022318402393
23. Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler C. B. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1977. 259 p.
24. Mathews J., Fink K. Numerical Methods Using Matlab. 4nd ed. New Jersey: Prentice-Hall, 2004. 696 p.
25. Шелудько Г. А., Угримов С. В. Адаптивная гибридизация. Х.: Міськдрук, 2011. 308 с.
26. Гаучи У. Интеграл вероятностей и интегралы Френеля. Справ. по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.

Надійшла до редакції 16 березня 2018 р.