АДАПТИВНІ ДИСКРЕТНІ МОДЕЛІ ФУНКЦІОНАЛЬНО ПРЕДСТАВЛЕНИХ ФОРМ ВИРОБІВ

Автор

С. В. Чопоров, Запорізький національний університет (69600, Україна, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66), e-mail: s.choporoff@znu.edu.ua, ORCID: 0000-0001-5932-952X

Анотація

Під час проектування часто застосовується чисельний аналіз моделей виробів машинобудування, що грунтуються на рівняннях у частинних похідних. Одним із найбільш поширених чисельних методів є метод скінченних елементів, в якому неперервна модель виробу замінюється дискретною моделлю. В результаті першим етапом моделювання є побудова дискретної моделі форми виробу як скінченного об’єднання простих фігур. За таких умов розподіл елементів в дискретній моделі форми виробу істотно впливає на точність чисельного аналізу. Одним із найбільш універсальних підходів до комп’ютерного моделювання форм виробів є функціональне подання. Даний підхід грунтується на використанні неявних функцій для визначення множини точок, яка являє собою форму об’єкта. Водночас неявні функції для складних об’єктів можуть бути побудовані конструктивно, використовуючи комбінації простіших функцій. Для цього можуть бути використані запропоновані в теорії R-функцій дійсні функції, що відповідають логічним операціям. Хоча функціональне подання дозволяє перевірити належність точки до множини, але для нього необхідна розробка методів побудови дискретних моделей. У цій роботі запропоновано метод для побудови адаптивних дискретних моделей форм об’єктів, зображених функціонально. В цьому методі використовується оцінка точності скінченноелементного аналізу для визначення областей згущення вузлів і елементів. У процесі згущення використовуються шаблони розбиття елементів, які запропоновані для найбільш часто використовуваних елементів (трикутників, чотирикутників, тетраедрів і шестигранників), з репроекцією на границю області граничних вузлів. Показані приклади побудови адаптивних дискретних моделей під час розв’язання дво- і тривимірних задач дослідження напружено-деформованого стану.

Ключові слова: дискретна модель, форма виробу, неявна функція, R‑функція, метод скінченних елементів.

Література

1. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Київ: Наукова думка, 1982. 552 с.
2. Максименко-Шейко К. В. R‑функции в математическом моделировании геометрических объектов и физических полей. Харьков: ИПМаш НАН Украины, 2009. 306 с.
3. Максименко-Шейко К. В., Шейко Т. И. Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций. Кибернетика и систем. анализ. 2012. Т. 48. № 4. С. 155–162.
4. Лисняк А. А. Способ построения дискретных математических геометрических объектов, заданных с помощью R-функций. Вісн. Запоріз. нац. ун-ту. Фізико-математичні науки. 2013. № 1. С. 59–69.
5. Чопоров С. В. Сглаживание сеток четырехугольных элементов с использованием локальной минимизации функционала. Вестн. Херсон. нац. техн. ун-та. 2017. Т. 2. № 3 (62). С. 234–239.
6. Лисняк А. А. Дискретизация границы трехмерных моделей геометрических объектов, заданных с помощью R-функций. Радіоелектроніка, інформатика, управління. 2014. № 1. С. 82–88. https://doi.org/10.15588/1607-3274-2014-1-12
7. Чопоров С. В. Построение неравномерных дискретных сеток для функциональных математических моделей на базе теории R‑функций. Радиоэлектроника, информатика, управление. 2011. № 2. С. 70–75. https://doi.org/10.15588/1607-3274-2011-2-12
8. Babuska I., Flaherty J. E., Henshaw W. D., Hopcroft J. E., Oliger J. E., Tezduyar T. Modeling, mesh generation, and adaptive numerical methods for partial differential equations. New York: Springer-Verlag, 1995. 450 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4248-2
9. Schwab C. P- and HP-finite element methods. London: Clarendon, 1999. 386 p.
10. Bank R. E. PLTMG: A software package for solving elliptic partial differential equations: users’ guide 8.0. SIAM, 1998. 155 p. https://doi.org/10.1137/1.9780898719635
11. Schneiders R. Octree-based hexahedral mesh generation. Intern. J. Computational Geometry & Appl. 2000. Vol. 10. Iss. 4. P. 383–398. https://doi.org/10.1142/S021819590000022X
12. Tristano J. R., Chen Z., Hancq D. A., Kwok W. Fully automatic adaptive mesh refinement integrated into the solution process. International Meshing Roundtable: Proc. the 12^th Conf., Santa Fe, New Mexico, U.S.A., 14–17 September 2003. Sandia National Laboratories, 2003. P. 307–314.

Надійшла до редакції 12 жовтня 2018 р.