Розв’язання нестаціонарних обернених задач теплопровідності для багатошарових тіл на основі ефективного пошуку регуляризуючого параметра

Автори

Ю. М. Мацевитий, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: matsevit@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0002-6127-0341

В. М. Сіренко, Державне підприємство «Конструкторське бюро «Південне» ім. М. К. Янгеля» (49008, Україна, м. Дніпро, вул. Криворізька, 3), e-mail: v.n.sirenko@i.ua

А. О. Костіков, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: kostikov@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0001-6076-1942

М. О. Сафонов, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: nicksaf@meta.ua, ORCID: 0000-0002-3951-4805

В. В. Ганчин, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: valeragw@gmail.com, ORCID: 0000-0001-9242-6460

Анотація

У статті для отримання стійкого розв’язання оберненої задачі теплопровідності (ОЗТ) застосовується метод регуляризації А. М. Тихонова з ефективним алгоритмом пошуку регуляризуючого параметра. Шукані тепловий потік на границі та термічний контактний опір за часовою координатою апроксимуються сплайнами Шьонберга третього ступеня. Як стабілізуючий функціонал використовується сума квадратів шуканої величини, її першої та другої похідних. Як об’єкт дослідження розглядаються багатошарові пластини або оболонки, до яких можна віднести і корпус твердопаливних ракетних двигунів. У першому наближенні задача розглядається в одновимірній нестаціонарній лінійній постановці. Співвідношення товщини оболонки до її радіуса будемо вважати таким, що в рівнянні теплопровідності кривизною оболонки можна знехтувати і розглядати її як плоску пластину. Таке припущення вибрано для спрощення викладення матеріалу і не обмежує застосовності викладеної методики в разі осьової симетрії оболонки, а також під час перекладу математичної моделі з прямокутної в циліндричну систему координат. Розглядаються три обернені задачі. У перших двох визначаються теплові потоки в складеному тілі з ідеальним і реальним тепловим контактом. У третій ОЗТ за реального теплового контакту визначається термічний контактний опір. Теплові потоки в багатошарових тілах розглядаються у вигляді лінійних комбінацій сплайнів Шьонберга третього ступеня з невідомими коефіцієнтами, які обчислюються шляхом розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця система є наслідком необхідної умови мінімуму функціонала, в основу якого покладено принцип найменших квадратів відхилення модельованої температури від температури, отриманої в результаті теплофізичного експерименту. Для регуляризації розв’язків ОЗТ використовується стабілізуючий функціонал з параметром регуляризації як мультиплікативним множником. Він являє собою суму квадратів теплових потоків, їх перших і других похідних з відповідними множниками. Ці множники вибираються згідно із заздалегідь відомими властивостями шуканого розв’язку. Пошук регуляризуючого параметра здійснюється за допомогою алгоритму, аналогічного алгоритму пошуку кореня нелінійного рівняння.

Ключові слова: обернена задача теплопровідності, тепловий потік, термічний контактний опір, метод регуляризації А. М. Тихонова, функціонал, стабілізатор, параметр регуляризації, ідентифікація, апроксимація, сплайн Шьонберга третього ступеня.

Література

1. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. (мл.) Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 312 с.
2. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: в 2-х т. Киев: Наук. думка. Т. 1: Методология. 2002. 408 с.; Т. 2: Приложения. 2003. 392 с.
3. Коздоба Л. А., Круковский П. Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. Киев: Наук. думка, 1982. 360 с.
4. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.
5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
6. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П. Некорректные многопараметрические задачи теплопроводности и регионально-структурная регуляризация их решений.  Киев: Наук. думка, 2014. 292 с.
7. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П., Ганчин В. В. Регионально-аналитическое моделирование и идентификация тепловых потоков с использованием метода регуляризации А. Н. Тихонова. Пробл. машиностроения. 1999. Т. 2. № 1–2. С. 34–42.
8. Мацевитый Ю. М., Сафонов Н. А., Ганчин В. В. К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности. Пробл. машиностроения. 2016. Т. 19. № 1. С. 28–36. https://doi.org/10.15407/pmach2016.01.028
9. Graham N. Y. Smoothing with Periodic Cubic Splines. Bell System Techn. J. 1983. Vol. 62. P. 101–110. https://doi.org/10.1002/j.1538-7305.1983.tb04381.x
10. Reinsch C. H. J. Smoothing by Spline Function. Numerische Mathematik. 1967. Vol. 10. P. 77–183. https://doi.org/10.1007/BF02162161

Надійшла до редакції: 29 травня 2019 р.