Хаотичні коливання кінематично збуреної пологої оболонки при геометрично нелінійному деформуванні

Автори

К. В. Аврамов, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: kvavramov@gmail.com, ORCID: 0000-0002-8740-693X

К. Ф. Чешко, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: cheshko.ks@gmail.com, ORCID: 0000-0001-8662-4209

О. Ф. Поліщук, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: PolischukOleg@nas.gov.ua, ORCID: 0000-0003-1266-9847

Анотація

Досліджуються вимушені коливання консольної пологої оболонки постійної кривизни. Ці рухи збуджуються кінематичним періодичним рухом защемлення. Для опису геометрично нелінійного деформування використовується нелінійна теорія оболонок Донелла. Для побудови нелінійної динамічної системи зі скінченним числом ступенів свободи застосовується метод заданих форм. Оскільки власні частоти поздовжніх і крутильних коливань значно вище згинальних, то інерційні сили в поздовжньому і крутильному напрямах не враховуються. Тому узагальнені координати поздовжніх і крутильних коливань виражаються через згинальні. Отже, отримана нелінійна динамічна система щодо згинальних узагальнених координат. Для розрахунку власних форм лінійних коливань, за якими розкладається нелінійна динамічна задача, використовується метод Релея-Рітца. Тоді задовольняються лише кінематичні граничні умови. За збіжності розв’язку силові граничні умови виконуються автоматично. Для дослідження збіжності власних частот проводилися розрахунки з різним числом базисних функцій. Як базисні функції використані B-сплайни. Проведено порівняння з експериментальними даними аналізу власних частот, опублікованими авторами раніше. Для числового аналізу нелінійних періодичних коливань розв’язана двоточкова крайова задача для звичайних диференціальних рівнянь методом пристрілки. Стійкість періодичних рухів і їх біфуркації оцінено за величинами мультиплікаторів. Для дослідження біфуркацій періодичних коливань застосовано метод продовження розв’язку по параметру. В області основного резонансу виявлено сідло-вузлові біфуркації, біфуркації подвоєння періоду та біфуркації Неймарка-Сакера. Для дослідження сталих майже періодичних і хаотичних коливань розраховано перетини Пуанкаре, спектри характеристичних показників Ляпунова і спектральні щільності. Як перетини Пуанкаре використано стробоскопічний фазовий портрет. Досліджено властивості сталих коливань за квазістатичної зміни частоти збуджуючої дії.

Ключові слова: нелінійні періодичні коливання пологої оболонки, стійкість коливань, майже періодичні  коливання, хаотичні коливання.

Література

1. Аврамов К. В., Михлин Ю. В. Нелинейная динамика упругих систем: в 2-х т. Т. 2: Приложения. М.: Инт компьютер. исследований, 2015. 700 с.
2. Amabili M., Paıdoussis M. P. Review of studies on geometrically nonlinear vibrations and dynamics of circular cylindrical shells and panels, with and without fluid structure interaction. Appl. Mech. Reviews. 2003. Vol. 56. Iss. 4. P. 349–381. https://doi.org/10.1115/1.1565084
3. Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates. Cambridge: Cambridge University Press, 2008. 374 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511619694
4. Parker, T. S., Chua, L. O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. New York: Springer, 1989. 348 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3486-9
5. Meirovitch L. Elements of vibration analysis. New York: McGraw-Hill Publishing Company, 1986. 495 p.
6. Awrejcewicz J., Kurpa L., Osetrov A. Investigation of the stress-strain state of the laminated shallow shells by R-functions method combined with spline-approximation. J. Appl. Math. and Mech. 2001. Vol. 6. P. 458–467. https://doi.org/10.1002/zamm.201000164
7. Hollig K., Reif U., Wipper J. Weighted extended B-spline approximation of Dirichlet problems. J. on Numerical Analysis. 2001. Vol. 39. No. 2. P. 442–462. https://doi.org/10.1137/S0036142900373208
8. Чешко К. Ф., Полищук О. Ф., Аврамов К. В. Экспериментальный и численный анализ свободных колебаний пологой оболочки. Вісн. НТУ”ХПІ”. 2017. № 40. С. 81–85. https://doi.org/10.20998/2078-9130.2017.40.119720
9. Аврамов К. В., Михлин Ю. В. Нелинейная динамика упругих систем: в 2-х т. Т. 1. Модели, методы, явления. М.: Ин-т компьютер. исследований, 2015. 716 с.

Надійшла до редакції 14 березня 2019 р.