Нелокальна анізотропна оболонкова модель лінійних коливань багатостінних вуглецевих нанотрубок

Автори

К. В. Аврамов, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: kvavramov@gmail.com, ORCID: 0000-0002-8740-693X

Б. Н. Кабилбекова, Південно-Казахстанський державний університет імені Мухтара Ауезова (160012, Казахстан, м. Шимкент, пр. Тауке-хана, 5), e-mail: balzhan.kbn@bk.ru, ORCID: 0000-0001-8461-8008

К. К. Сейтказенова, Південно-Казахстанський державний університет імені Мухтара Ауезова (160012, Казахстан, м. Шимкент, пр. Тауке-хана, 5)

Д. С. Мирзалієв, Південно-Казахстанський державний університет імені Мухтара Ауезова (160012, Казахстан, м. Шимкент, пр. Тауке-хана, 5)

В. М. Печерський, Південно-Казахстанський державний університет імені Мухтара Ауезова (160012, Казахстан, м. Шимкент, пр. Тауке-хана, 5)

Анотація

Розглядається багатостінна шарнірно-обперта вуглецева нанотрубка. Її коливання будуть вивчатися в циліндричній системі координат. Пружні сталі в законі Гука залежать від діаметра стінки вуглецевої нанотрубки. Тому кожна стінка має свої пружні сталі. Коливання стінок нанотрубок описуються оболонковою теорією Сандерса-Коітера. Для виведення рівнянь в частинних похідних, що описують автоколивання, застосовується варіаційний підхід. Рівняння коливань в частинних похідних виводяться щодо трьох проекцій переміщень. У моделі враховуються сили Ван-дер-Ваальса між стінками нанотрубки. Три проекції переміщень розкладаються за базисними функціями. Вибрати базисні функції, що задовольняють одночасно геометричні і природні граничні умови, не вдалося. Тому вибираються базисні функції, що задовольняють тільки геометричні граничні умови. Для одержання лінійної динамічної системи зі скінченним числом ступенів свободи застосовується метод зважених нев’язок. Для виведення основних співвідношень методу зважених нев’язок застосовуються методи варіаційного числення. Проведено аналіз власних частот коливань одностінних вуглецевих нанотрубок в залежності від числа хвиль в обводовому напрямку. За числа хвиль в обводовому напрямку від 2 до 4 спостерігаються мінімальні власні частоти коливань нанотрубок. Ці числа менші, ніж для власних частот коливань машинобудівних оболонок. Досліджувалися трьохстінні анізотропні моделі нанотрубок. У власних формах спостерігається взаємодія між базисними функціями з різним числом хвиль в поздовжньому напрямку. Цього явища не спостерігалося в ізотропній моделі нанотрубки. Поява таких коливань є наслідком анізотропії конструкції.

Ключові слова: нанотрубка, оболонкова теорія Сандерса–Коітера, сили Ван-дер-Ваальса, нелокальна пружність.

Література

1. Gibson R. F., Ayorinde E. O., Wen Y.-F. Vibrations of carbon nanotubes and their composites: A review. Composites Sci. and Technology. 2007. Vol. 67. Iss. 1. P. 1–28. https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2006.03.031.
2. Sirtori C. Applied physics: Bridge for the terahertz gap. Nature. 2002. No. 417. P. 132–133. https://doi.org/10.1038/417132b.
3. Jeon T., Kim K. Terahertz conductivity of anisotropic single walled carbon nanotube films. Appl. Physics Letters. 2002. No. 80. P. 3403–3405. https://doi.org/10.1063/1.1476713.
4. Yoon J., Ru C. Q., Mioduchowski A. Sound wave propagation in multiwall carbon nanotubes. J. Appl. Physics. 2003. No. 93. P. 4801–4806. https://doi.org/10.1063/1.1559932.
5. Iijima S., Brabec C., Maiti A., Bernholc J. Structural flexibility of carbon nanotubes. J. Chemical Physics. 1996. No. 104. P. 2089–2092. https://doi.org/10.1063/1.470966.
6. Yakobson B. I., Campbell M. P., Brabec C. J., Bernholc J. High strain rate fracture and C-chain unraveling in carbon nanotubes. Computer Material Sci. 1997. Vol. 8. Iss. 4. P. 241–248. https://doi.org/10.1016/S0927-0256(97)00047-5.
7. Wang C. Y., Zhang L. C. An elastic shell model for characterizing single-walled carbon nanotubes. Nanotechnology. 2008. No. 19. 195704. https://doi.org/10.1088/0957-4484/19/19/195704.
8. Wang Q., Varadan V. K. Application of nonlocal elastic shell theory in wave propagation analysis of carbon nanotubes. Smart Material Structure. 2007. No. 16. P. 178–190. https://doi.org/10.1088/0964-1726/16/1/022.
9. Fu Y. M., Hong J. W., Wang X. Q. Analysis of nonlinear vibration for embedded carbon nanotubes. J. Sound and Vibration. 2006. Vol. 296. Iss. 4–5. P. 746–756. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2006.02.024.
10. Ansari R., Hemmatnezhad M. Nonlinear vibrations of embedded multi-walled carbon nanotubes using a variational approach. Mathematical and Computer Modeling. 2011. Vol. 53. Iss. 5–6. P. 927–938. https://doi.org/10.1016/j.mcm.2010.10.029.
11. Ansari R., Hemmatnezhad M. Nonlinear finite element analysis for vibrations of double-walled carbon nanotubes. Nonlinear Dynamics. 2012. No. 67. P. 373–383. https://doi.org/10.1007/s11071-011-9985-6.
12. Hajnayeb A., Khadem S. E. Analysis of nonlinear vibrations of double-walled carbon nanotubes conveying fluid. J. Sound and Vibration. 2012. Vol. 331. Iss. 10. P. 2443–2456. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2012.01.008.
13. Avramov K. V. Nonlinear vibrations characteristics of single-walled carbon nanotubes via nonlocal elasticity. Intern. J. Nonlinear Mech. 2018. Vol. 107. Р. 149–160. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2018.08.017.
14. Fazelzadeh S. A., Ghavanloo E. Nonlocal anisotropic elastic shell model for vibrations of single-walled carbon nanotubes with arbitrary chirality. Composite Structures. 2012. Vol. 94. Iss. 3. P. 1016–1022. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2011.10.014.
15. Ghavanloo E., Fazelzadeh S. A. Vibration characteristics of single-walled carbon nanotubes based on an anisotropic elastic shell model including chirality effect. Appl. Math. Modelling. 2012. Vol. 36. Iss. 10. Р. 4988–5000. https://doi.org/10.1016/j.apm.2011.12.036.
16. Chang T. A molecular based anisotropic shell model for single-walled carbon nanotubes. J. Mech. and Physics Solids. 2010. Vol. 58. Iss. 9. P. 1422–1433. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2010.05.004.
17. Chang T., Geng J., Guo X. Prediction of chirality- and size-dependent elastic properties of single-walled carbon nanotubes via a molecular mechanics model. Proc. Royal Society A. 2006. Vol. 462. Iss. 2072. Р. 2523–2540. https://doi.org/10.1098/rspa.2006.1682.
18. He X. Q., Kitipornchai S., Wang C. M., Xiang Y., Zhou Q. A nonlinear Van Der Waals force model for multiwalled carbon nanotubes modeled by a nested system of cylindrical shells. ASME J. Appl. Mech. 2010. Vol.77. Iss. 6. 061006 (6 p.). https://doi.org/10.1115/1.4001859.
19. Washizu K. Variational methods in elasticity and plasticity. Oxford, United Kingdom: Pergamon Press, 1975. 420 p.
20. Zienkiewicz O., et al. Finite elements and approximation. New York: John Wiley & Sons, 1983. 350 р.
21. He X. Q., Kitipornchai S., Liew K. M. Buckling analysis of multi-walled carbon nanotubes: A continuum model accounting for Van der Waals interaction. J Mech. Phys. Solids. 2005. Vol. 53. Iss. 2. P. 303–326. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2004.08.003.
22. Strozzi M., Pellicano F. Linear vibrations of triple-walled carbon nanotubes. Mathematics and Mechanics of Solids. 2017. Vol. 23. Iss. 11. P. 1456–1481. https://doi.org/10.1177/1081286517727331.
23. Liew K. M., He X. Q., Wong C. H. On the study of elastic and plastic properties of multi-walled carbon nanotubes under axial tension using molecular dynamics simulation. Acta Materialia. 2004. Vol. 52. Iss. 9. Р. 2521–2527. https://doi.org/10.1016/j.actamat.2004.01.043.
24. Lambin Ph., Meunier V., Rubio A. Electronic structure of polychiral carbon nanotubes. Physical review B. 2000. Vol. 62. Iss. 8. Р. 5129–5135. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.62.5129.

Надійшла до редакції 13 лютого 2020 р.