Адаптивний метод чисельного диференціювання важкообчислювальних функцій

Автори

Г. А. Шелудько, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), ORCID: 0000-0003-4171-9591

С. В. Угрімов, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: sugrimov@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0002-0846-4067

Анотація

Розглянуто адаптивний підхід до чисельного диференціювання важкообчислювальних функцій. Складні залежності, які є результатом багаторазових суперпозицій функцій або різних алгоритмічних процесів, складні для безпосереднього дослідження. Для встановлення характеру поведінки таких залежностей доводиться вдаватися до чисельного аналізу. Однією з важливих характеристик функцій є похідна, яка вказує напрям і швидкість зміни залежності. Однак при складнообчислювальних функціях наявної апріорно інформації не завжди достатньо, щоб відомими засобами можна було б досягти належної точності розв’язку. Втрата точності відбувається внаслідок накопичення помилок округлення, які зростають пропорційно кількості задіяних значень функції. У цьому випадку доводиться переходити до апостеріорного підходу для того, щоб визначити поведінку функції та відійти від схеми рівновіддалених вузлів, спираючись на адаптивний спосіб вивчення локальної обстановки в області визначення функції. У статті реалізовано адаптивний метод пошуку похідних функції при мінімумі обмежувальних вимог до класу функцій і форми їх задання. Завдяки цьому значно зменшилися витрати на обчислення функції, в результаті чого кількість обчислень було доведено майже до оптимального рівня. При цьому різко знизився обсяг використовуваної оперативної пам’яті. Немає потреби в проведенні попереднього аналізу зі встановлення класу досліджуваної функції, в залученні спецфункцій або перетворенні початкових умов для використання стандартних таблиць вагових коефіцієнтів і т.п. Для дослідження достатньо задати неперервну і обмежену функцію на фіксованому сегменті і мінімальний крок, якій побічно відповідає за забезпечення необхідної точності диференціювання. Ефективність запропонованого методу демонструється на ряді тестових прикладів. Розроблений метод може бути використано у більш складних задачах, наприклад, при розв’язанні деяких типів диференціальних і інтегральних рівнянь, а також для широкого ряду задач оптимізації в найрізноманітніших областях прикладного аналізу та синтезу.

Ключові слова: : недиференційована функція, кусково-лінійне наближення, адаптивний покроковий вибір вузлів.

Література

1. Mhaskar H. N., Naumova V., Pereverzyev S. V. Filtered Legendre expansion method for numerical differentiation at the boundary point with application to blood glucose predictions. Appl. Mathematics and Computation. 2013. Vol. 224. P. 835–847, https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.09.015.
2. Шелудько Г. А., Шупіков О. М., Сметанкіна Н. В, Угрімов С. В. Прикладний адаптивний пошук. Х.: Око, 2001. 188 c.
3. Grakovski A., Alexandrov A. Spectral method for numerical calculation of derivatives in digital processing of subsurface radar sounding signals. Math. Modellingand Analysis. 2005. Vol. 10. No.1. P. 31–40. https://doi.org/10.1080/13926292.2005.9637268.
4. Zhao Z. A Hermite extension method for numerical differentiation. Appl. Numerical Mathematics. 2021. Vol. 159. P. 46–60. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2020.08.016.
5. Il’in V. P., Zadorin A. I. Adaptive formulas of numerical differentiation of functions with large gradients. J.: Conf. Series. 2019. Vol. 1260. Iss. 4. P. 042003-1–042003-7. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1260/4/042003.
6. Lu S., Pereverzev S. V. Numerical differentiation from a viewpoint of regularization theory. Mathematics Computation. 2006. Vol. 75. No. 256. P. 1853–1870. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-06-01857-6.
7. Zhao Z., You L. A numerical differentiation method based on legendre expansion with super order Tikhonov regularization. Appl. Mathematics and Computation. 2021. Vol. 393. https://doi.org/10.1016/j.amc.2020.125811.
8. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.: Гостехиздат, 1954. 98 с.
9. Гончаров В. Л.. Теория интерполирования и приближения функций. Изд. 2. М: Гостехиздат, 1954. 386 с.
10. Мелентьев П. В.. Приближенные вычисления. М.: Физматгиз, 1966. 388 p.
11. Чебышев П. Л. О функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых величинах переменных. Полн. собр. соч. в 5 т. Т. 3: Математический анализ. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948. C. 108–127.
12. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1977. 349 с.
13. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1964. 385 с.
14. Шелудько Г. А., Стрельникова Е. А., Кантор Б. Я. Гибридные методы в задачах оптимального проектирования. Поисковые методы. Харьков: Новое слово, 2008. 188 с.
15. Шелудько Г. А., Угримов С. В. Адаптивная гибридизация. Х.: Міськдрук, 2011. 308 с.
16. Sheludko G. A., Ugrimov S. V. Modernization adaptive piecewise linear approximation of difficult-to-compute functions. J. Mech Eng. 2018. Vol. 21. No. 2. P. 60–67. https://doi.org/10.15407/pmach2018.02.060.
17. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 632 с.
18. Рамм А. Г. О численном дифференцировании. Изв. вузов. Математика. 1968. № 11. С. 131–134.
19. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509 с.
20. Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: Наука, 1986. 192 с.
21. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.
22. Gander W., Gautschi W. Adaptive quadrature – revisited. BIT Numerical Mathematics. 2000. Vol. 40. Iss. 1. P. 84–101. https://doi.org/10.1023/A:1022318402393.
23. Mathews J., Fink K. Numerical methods using Matlab. 4nd ed. New Jersey: Prentice-Hall, 2004. 696 p.
24. Долгополова Т. Ф., Иванов В. К. О численном дифференцировании. Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т. 6. № 3. С. 57–71. https://doi.org/10.1016/0041-5553(66)90145-5.
25. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 220 с.

Надійшла до редакції 29 березня 2021 р.