Метод розв’язання геометрично нелінійних задач вигину тонких пологих оболонок складної форми

Автор

C. М. Склепус, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: snsklepus@ukr.net, ORCID: 0000-0002-4119-4310

Анотація

У статті представлено новий чисельно-аналітичний метод розв’язання геометрично нелінійних задач вигину тонких пологих оболонок і пластин складної форми. Постановку задачі виконано у рамках класичної геометрично нелінійної постановки. Для лінеаризації нелінійної задачі вигину пологих оболонок і пластин використовувався метод продовження за параметром. Введено зростаючий параметр t, пов’язаний із зовнішнім навантаженням, який характеризує процес навантаження оболонки. Для варіаційної постановки лінеаризованої задачі побудовано функціонал у формі Лагранжа, заданий на кінематично можливих швидкостях переміщень. Для знаходження основних невідомих задачі нелінійного вигину оболонки (переміщення, деформації, напруження) сформульовано задачу Коші за параметром t для системи звичайних диференціальних рівнянь, що розв’язувалася методом Рунґе-Кутти-Мерсона з автоматичним вибором кроку. Початкові умови знаходяться із розв’язку задачі геометрично лінійного деформування. Праві частини диференціальних рівнянь при фіксованих значеннях параметра t, що відповідають схемі Рунґе-Кутти-Мерсона, знаходилися із розв’язку варіаційної задачі для функціонала у формі Лагранжа. Варіаційні задачі розв’язувалися методом Рітца в поєднанні з методом R-функцій, що дозволяє точно врахувати геометричну інформацію про крайову задачу і подати наближений розв’язок у вигляді формули – структури розв’язку, яка точно задовольняє всім (загальна структура) або частині (часткова структура) граничних умов. Розв’язано тестову задачу для нелінійного вигину квадратної жорстко закріпленої пластини під дією рівномірно розподіленого навантаження різної інтенсивності. Результати для прогинів і напружень, отримані за допомогою розробленого методу, порівняні з аналітичним розв’язком і розв’язком, отриманим методом скінченних елементів. Розв’язано задачу вигину жорстко закріпленої пластини складної форми. Досліджено вплив геометричної форми на напружено-деформований стан.

Ключові слова: гнучка полога оболонка, складна форма, метод R-функцій, метод продовження за параметром.

Повний текст: завантажити PDF

Література

1. Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Методы расчета оболочек: в 5 т. Т. 4. Теория оболочек переменной жесткости. Киев: Наук. думка, 1981. 544 с.
2. Grigorenko Ya. M., Gulyaev V. I. Nonlinear problems of shell theory and their solution methods (review). International Applied Mechanics. 1991. Vol. 27. Р. 929–947. https://doi.org/10.1007/BF00887499.
3. Рассказов А. О., Соколовская И. И., Шульга Н. А. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек. Киев: Высшая школа,1986. 191 с.
4. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Москва: Книга по требованию, 2012. 445 с.
5. Sabir A. B., Djoudi M. S. Shallow shell finite element for the large deflection geometrically nonlinear analysis of shells and plates. Thin-Walled Structures. 1995. Vol. 21. Iss. 3. P. 253–267. https://doi.org/10.1016/0263-8231(94)00005-K.
6. Bucalem M. L., Bathe K. J. Finite element analysis of shell structures. Archives of Computational Methods in Engineering. 1997. Vol. 4. P. 3–61. https://doi.org/10.1007/BF02818930.
7. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наукова думка, 1982. 552 c.
8. Kurpa L. V., Lyubitskaya E. I., Morachkovskaya I. O. The R-function method used to solve nonlinear bending problems for orthotropic shallow shells on an elastic foundation. International Applied Mechanics. 2010. Vol. 46. Р. 660–668. https://doi.org/10.1007/s10778-010-0353-x.
9. Smetankina N., Merkulova A., Merkulov D., Postnyi O. Dynamic response of laminate composite shells with complex shape under low-velocity impact. In: Nechyporuk M., Pavlikov V., Kritskiy D. (eds.) Integrated Computer Technologies in Mechanical Engineering-2020. ICTM 2020. Lecture Notes in Networks and Systems. Cham: Springer, 2021. Vol. 188. Р. 267–276. https://doi.org/10.1007/978-3-030-66717-7_22.
10. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. Москва: Гостеориздат, 1956. 420 с.
11. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек. Исследования по теории пластин и оболочек. 1984. Вып. 17. Часть 1. С. 3–58.
12. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. Москва: Мир, 1987. 542 с.
13. Крылов В. И, Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Москва: Наука, 1977. 399 с.
14. Urthaler Y., Reddy J. N. A mixed finite element for a nonlinear bending analysis of laminated composite plates based on FSDT. Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2008. Vol. 15. P. 335–354. https://doi.org/10.1080/15376490802045671.
15. Levy S. Square plate with clamped edges under normal pressure producing large deflections. Tech. Report, National Advisory Committee for Aeronautics. 1942.

Надійшла до редакції 02.09.2022