Дослідження стійкості математичної моделі руху пов’язаних маятників

Автори

Ю. Е. Сурганова, Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут» (61002, Україна, м. Харків, вул. Кирпичова, 2), e-mail: surganova.julia@gmail.com, ORCID: 0000-0002-6540-3025

Ю. В. Міхлін, Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут» (61002, Україна, м. Харків, вул. Кирпичова, 2), e-mail: yuri.mikhlin@gmail.com, ORCID: 0000-0002-1780-9346

Анотація

У статті представлено дослідження динаміки коливальної дисипативної системи двох пружно пов’язаних маятників у магнітному полі. Досліджено нелінійні нормальні моди коливань маятникової системи з урахуванням опору середовища, моменту демпфування, створеного пружним елементом. Розглянуто систему з двома ступенями свободи, в якій маси маятників суттєво розрізняються, що приводить до можливості появи локалізації коливань. У наступному дослідженні співвідношення мас обрано як малий параметр. Для наближених розрахунків магнітних сил використовується апроксимація Паде, яка найбільше задовольняє експериментальним даним. Це наближення забезпечує дуже точний опис магнітного збудження. Наявність зовнішніх впливів у вигляді магнітних сил і різного типу навантажень, які існують в багатьох інженерних системах, значно ускладнює аналіз мод коливань нелінійних систем. Проведено дослідження нелінійних нормальних мод коливань у даній системі, причому одна з мод є пов’язаним режимом, а друга – локалізованою. Моди коливань побудовано методом багатьох масштабів. Вивчено як регулярну, так і складну поведінку при зміні параметрів системи. Вплив цих параметрів досліджено для малих і значних початкових кутів нахилу маятника. Аналітичний розв’язок, який базується на методі Рунге-Кутти четвертого порядку, порівняно з результатами чисельного моделювання. Початкові умови для розрахунку мод коливань визначалися аналітичним розв’язком. Чисельне моделювання, яке складається з побудови фазових діаграм, траєкторій у конфігураційному просторі й амплітудно-частотних характеристик, дозволяє оцінити динаміку системи, що може бути як регулярною, так і складною. Стійкість режимів коливань досліджено за допомогою тестів чисельного аналізу, які є реалізацією критерію стійкості Ляпунова. При цьому стійкість режимів коливань визначається шляхом оцінки ортогональних відхилень відповідних траєкторій режимів коливань у конфігураційному просторі.

Ключові слова: пов’язані маятники, магнітні сили, нелінійні нормальні моди коливань, метод багатьох масштабів, стійкість.

Повний текст: завантажити PDF

Література

1. Polczyński K., Wijata A., Awrejcewicz J., Wasilewski G. Numerical and experimental study of dynamics of two pendulums under a magnetic field. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part I: Journal of Systems and Control Engineering. 2019. Vol. 233. Iss. 4. P. 441–453. https://doi.org/10.1177/0959651819828878.
2. Wijata A., Polczyński K., Awrejcewicz J. Theoretical and numerical analysis of regular one-side oscillations in a single pendulum system driven by a magnetic field. Mechanical Systems and Signal Processing. 2021. Vol. 150. 107229. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2020.107229.
3. Polczyński K., Skurativskyi S., Bednarek M., Awrejcewicz J. Nonlinear oscillations of coupled pendulums subjected to an external magnetic stimulus. Mechanical Systems and Signal Processing. 2021. Vol. 154. 107560. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2020.107560.
4. Surganova Yu. E., Mikhlin Yu. V. Localized and non-localized nonlinear normal modes in a system of two coupled pendulums under a magnetic field. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2022. Vol. 147. 104182. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2022.104182.
5. Mikhlin Yu. V., Avramov K. V. Nonlinears normal modes for vibrating mechanical systems. review of theoretical developments. Applied Mechanics Reviews. 2010. Vol. 63. Iss. 6. Paper 060802. https://doi.org/10.1115/1.4003825.
6. Avramov K. V., Mikhlin Yu. V. Review of applications of nonlinear normal modes for vibrating mechanical systems. Applied Mechanics Reviews. 2013. Vol. 65. Iss. 2. 020801. https://doi.org/10.1115/1.4023533.
7. Kerschen G. (ed.) Modal Analysis of Nonlinear Mechanical Systems. Vienna: Springer, 2014. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-7091-1791-0.
8. Manevitch L. I., Smirnov V. V. Limiting phase trajectories and the origin of energy localization in nonlinear oscillatory chains. Physical Review E. 2010. Vol. 82. Iss. 3. 036602. https://doi.org/10.1103/physreve.82.036602.
9. Vakakis A. F., Gendelman O. V., Bergman L., McFarland D. M., Kerschen G., Lee Y. S. Nonlinear targeted energy transfer in mechanical and structural systems I. In: Solid Mechanics and its Applications. Vol. 156. Springer, 2008. P. 1–1033.
10. Nayfeh A. H., Mook D. T. Nonlinear oscillations. John Wiley & Sons, 1995. 720 p. https://doi.org/10.1002/9783527617586.
11. Mikhlin Yu. V., Shmatko T. V., Manucharyan G. V. Lyapunov definition and stability of regular or chaotic vibration modes in systems with several equilibrium positions. Computers & Structures. 2004. Vol. 82. Iss. 31–32. P. 2733–2742. https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2004.03.082.

Надійшла до редакції 16.10.2023