НАПРУЖЕНИЙ СТАН У СКІНЧЕННОМУ ЦИЛІНДРІ З КРУГОВОЮ ТРІЩИНОЮ ЗА НЕСТАЦІОНАРНОГО КРУТІННЯ

Автори

О. В. Демидов, Національний університет «Одеська морська академія», (65029, Україна, м. Одеса, вул. Дідріхсона, 8), e-mail: alexandr.v.demidov@gmail.com, ORCID: 0000-0002-9841-8637

В. Г. Попов, Національний університет «Одеська морська академія», (65029, Україна, м. Одеса, вул. Дідріхсона, 8), e-mail: dr.vg.popov@gmail.com, ORCID: 0000-0003-2416-642X

Анотація

У статті розв’язана вісесиметрична динамічна задача з визначення напруженого стану в околі кругової тріщини в скінченному циліндрі. Нижня основа циліндра жорстко закріплена, а верхня навантажена тангенціальними напруженнями, які залежать від часу. На відміну від традиційних аналітичних методів, що ґрунтуються на використанні інтегрального перетворення Лапласа, запропонований метод полягає в різницевій апроксимації тільки похідної за часом. Для цього використовуються спеціальним чином підібрані нерівновіддалені вузли та спеціальне подання розв’язку в цих вузлах. Такий підхід дозволяє звести вихідну задачу до послідовності крайових задач для однорідного рівняння Гельмгольца. Кожна така задача розв’язується шляхом застосування скінченних інтегральних перетворень Фур’є і Ганкеля з подальшим їх оберненням. В результаті було отримано інтегральне подання для кутового переміщення через невідомий стрибок цього переміщення в площині тріщини. Відносно похідної цього стрибка з граничної умови на тріщині отримано інтегральне рівняння, яке в результаті застосування інтегрального оператора Вебера-Соніна і ряду перетворень зведено до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду відносно невідомої функції, пов’язаної зі стрибком. Наближене розв’язання цього рівняння здійснено методом колокацій, причому інтеграли наближали квадратурними формулами Гаусса-Лежандра. Знайдений числовий розв’язок дав можливість отримати наближену формулу для розрахунку коефіцієнта інтенсивності напружень (КІН). Користуючись цією формулою, провели дослідження впливу характеру навантаження і геометричних параметрів циліндра на почасову залежність цього коефіцієнта. Аналіз результатів показав, що у всіх розглянутих видах навантаження максимум значень КІН спостерігається під час перехідного процесу. Під час прикладення раптового постійного навантаження цей максимум у 2–2,5 рази перевищує статичне значення. У разі раптового гармонічного навантаження максимум КІН теж значно перевищує значення, яких він набуває за усталених коливань, за відсутності резонансу. Збільшення висоти циліндра і зменшення площі тріщини призводять до збільшення тривалості перехідного процесу і зменшення величини максимуму КІН. Той самий ефект спостерігається, коли площина тріщини наближається до нерухомого кінця циліндра.

Ключові слова: коефіцієнт інтенсивності напружень (КІН), вісесиметрична динамічна задача, скінченні різниці за часом, скінченний циліндр, кругова тріщина, крутний момент.

Повний текст: завантажити PDF

Література

1. Akiyama T., Hara T., Shibuya T. Torsion of an infinite cylinder with multiple parallel circular cracks. Theor. Appl. Mech. 2001. Vol. 50. P. 137–143. https://doi.org/10.11345/nctam.50.137
2. Lee Doo-Sung. Penny-shaped crack in a long circular cylinder subjected to a uniform shearing stress. Eur. J. Mech. A. Solids. 2001. Vol. 20. No. 2. P. 227–239. https://doi.org/10.1016/S0997-7538(00)01125-6
3. Huang G.-Y., Wang Y.-S., Yu S.-W. Stress concentration at a penny-shaped crack in a nonhomogeneous medium under torsion. Acta Mech. 2005. Vol. 180. Iss. 1–4. P. 107–115. https://doi.org/10.1007/s00707-005-0263-x
4. Jia Z. H., Shippy D. J., Rizzo F. J. Three-dimensional crack analysis using singular boundary elements. Int. J. Numer. Methods Eng. 1989. Vol. 28. Iss. 10. P. 2257–2273. https://doi.org/10.1002/nme.1620281005
5. Kaman M. O., Gecit M. R. Cracked semi-infinite cylinder and finite cylinder problems. Int. J. Eng. Sci. 2006. Vol. 44. Iss. 20. P. 1534–1555. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2006.08.009
6. Qizhi W. A note on the crack-plane stress field method for analysing SIFs and its application to a concentric penny-shaped crack in a circular cylinder opened up by constant pressure. International Journal of Fracture. 1994. Vol. 66. Iss. 4. P. R73–R76. https://doi.org/10.1007/BF00018445
7. Martin P. A., Wickham G. R. Diffraction of elastic waves by a penny-shaped crack: analytical and numerical results. Proc. R. Soc. London A Math. Phys. Eng. Sci. 1983. Vol. 390. Iss. 1798. P. 91–129. https://doi.org/10.1098/rspa.1983.0124
8. Гузь А., Зозуля В. Хрупкое разрушение материалов при динамических нагрузках. Киев: Наук. думка, 1993. 236 c.
9. Singh B. M., Haddow J. B., Vrbik J., Moodie T. B. Dynamic stress intensity factors for penny-shaped crack in twisted plate. J. Appl. Mech. 1980. Vol. 47. Iss. 4. P. 963–965. https://doi.org/10.1115/1.3153826
10. Srivastava K. N., Palaiya R. M., Gupta O. P. Interaction of elastic waves with a penny-shaped crack in an infinitely long cylinder. J. Elast. 1982. Vol. 12. Iss. 1. P. 143–152. https://doi.org/10.1007/BF00043709
11. Popov V. H. Torsional oscillations of a finite elastic cylinder containing an outer circular crack. Mater. Sci. 2012. Vol. 47. Iss. 6. P. 746–756. https://doi.org/10.1007/s11003-012-9452-7
12. Попов В. Г. Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною. Фізико-хім. механіка матеріалів. 2011. № 6. С. 30–38.
13. Ivanytskyi Ya. L., Boiko V. M., Khodan’ I. V., Shtayura S. T. Stressed state of a cylinder with external circular crack under dynamic torsion. Mater. Sci. 2007. Vol. 43. Iss. 2. P. 203–214. https://doi.org/10.1007/s11003-007-0023-2
14. Andreikiv O. E., Boiko V. M., Kovchyk S. E., Khodan’ I. V. Dynamic tension of a cylindrical specimen with circumferential crack. Mater. Sci. 2000. Vol. 36. Iss. 3. P. 382–391. https://doi.org/10.1007/BF02769599
15. Попов П. В. Задача про кручення скінченного циліндра з кільцевою тріщиною. Машинознавство. 2005. № 9. С. 15–18.
16. Демидов О. В., Попов В. Г. Нестационарний закрут скінченного циліндру з круговою тріщиною. Вісн. За-поріз. нац. ун-ту. Фізико-мат. науки. 2017. № 1. С. 131–142.
17. Savruk M. P. New method for the solution of dynamic problems of the theory of elasticity and fracture mechanics. Mater. Sci. 2003. Vol. 39. Iss. 4. P. 465–471. https://doi.org/10.1023/B:MASC.0000010922.84603.8d
18. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 c.

Надійшла до редакції 11 вересня 2018 р.