Решение нестационарных обратных задач теплопроводности для многослойных тел на основе эффективного поиска регуляризирующего параметра

image_print
DOI https://doi.org/10.15407/pmach2019.03.004
Журнал Проблемы машиностроения
Издатель Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного Национальной академии наук Украины
ISSN 0131-2928 (print), 2411-0779 (online)
Выпуск Том 22, № 3, 2019 (сентябрь)
Страницы 4-13

 

Авторы

Ю. М. Мацевитый, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: matsevit@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0002-6127-0341

В. Н. Сиренко, Государственное предприятие «Конструкторское бюро «Южное» им. М. К. Янгеля» (49008, Украина, г. Днепр, ул. Криворожская, 3), e-mail: v.n.sirenko@i.ua

А. О. Костиков, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: kostikov@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0001-6076-1942

Н. А. Сафонов, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: nicksaf@meta.ua, ORCID: 0000-0002-3951-4805

В. В. Ганчин, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: valeragw@gmail.com, ORCID: 0000-0001-9242-6460

 

Аннотация

В статье для получения устойчивого решения обратной задачи теплопроводности (ОЗТ) применяется метод А. Н. Тихонова с эффективным алгоритмом поиска регуляризирующего параметра. Искомые тепловой поток на границе и термическое контактное сопротивление по временной координате аппроксимируются сплайнами Шёнберга третьей степени. В качестве стабилизирующего функционала используется сумма квадратов искомой величины, её первой и второй производных. В качестве объекта исследования рассматриваются многослойные пластины или оболочки, к которым можно отнести и корпуса твердотопливных ракетных двигателей. В первом приближении задача рассматривается в одномерной нестационарной линейной постановке. Соотношение толщины оболочки к её радиусу будем считать таким, что в уравнении теплопроводности кривизной оболочки можно пренебречь и рассматривать её как плоскую пластину. Такое допущение выбрано для упрощения изложения материала и не ограничивает применимость излагаемой методики в случае осевой симметрии оболочки, а также при переводе математической модели из прямоугольной в цилиндрическую систему координат. Рассматриваются три обратные задачи. В первых двух определяются тепловые потоки в составном теле с идеальным и реальным тепловым контактом. В третьей ОЗТ при реальном тепловом контакте определяется термическое контактное сопротивление. Тепловые потоки в многослойных телах представляются в виде линейных комбинаций сплайнов Шёнберга третьей степени с неизвестными коэффициентами, которые вычисляются путём решения системы линейных алгебраических уравнений. Эта система является следствием необходимого условия минимума функционала, в основу которого положен принцип наименьших квадратов отклонения моделируемой температуры от температуры, полученной в результате теплофизического эксперимента. Для регуляризации решений ОЗТ в этом функционале в качестве слагаемого к сумме квадратов используется стабилизирующий функционал с параметром регуляризации в качестве мультипликативного множителя. Он представляет собой сумму квадратов тепловых потоков, их первых и вторых производных с соответствующими множителями. Эти множители выбираются согласно заранее известным свойствам искомого решения. Поиск регуляризирующего параметра осуществляется с помощью алгоритма, аналогичного алгоритму поиска корня нелинейного уравнения.

 

Ключевые слова: обратная задача теплопроводности, тепловой поток, термическое контактное сопротивление, метод регуляризации А. Н. Тихонова, функционал, стабилизатор, параметр регуляризации, идентификация, аппроксимация, сплайн Шёнберга третьей степени.

 

Полный текст: загрузить PDF

 

Литература

  1. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. (мл.) Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 312 с.
  2. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: в 2-х т. Киев: Наук. думка. Т. 1: Методология. 2002. 408 с.; Т. 2: Приложения. 2003. 392 с.
  3. Коздоба Л. А., Круковский П. Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. Киев: Наук. думка, 1982. 360 с.
  4. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.
  5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
  6. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П. Некорректные многопараметрические задачи теплопроводности и регионально-структурная регуляризация их решений.  Киев: Наук. думка, 2014. 292 с.
  7. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П., Ганчин В. В. Регионально-аналитическое моделирование и идентификация тепловых потоков с использованием метода регуляризации А. Н. Тихонова. Пробл. машиностроения. 1999. Т. 2. № 1–2. С. 34–42.
  8. Мацевитый Ю. М., Сафонов Н. А., Ганчин В. В. К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности. Пробл. машиностроения. 2016. Т. 19. № 1. С. 28–36. https://doi.org/10.15407/pmach2016.01.028
  9. Graham N. Y. Smoothing with Periodic Cubic Splines. Bell System Techn. J. 1983. Vol. 62. P. 101–110. https://doi.org/10.1002/j.1538-7305.1983.tb04381.x
  10. Reinsch C. H. J. Smoothing by Spline Function. Numerische Mathematik. 1967. Vol. 10. P. 77–183. https://doi.org/10.1007/BF02162161

 

Поступила в редакцию 29 мая 2019 г.