Построение геометрических отношений эллипсов и областей, ограниченных параболой, в задачах размещения геометрических объектов

image_print
DOI https://doi.org/10.15407/pmach2020.02.052
Журнал Проблемы машиностроения
Издатель Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного Национальной академии наук Украины
ISSN 0131-2928 (print), 2411-0779 (online)
Выпуск Том 23, № 2, 2020 (июнь)
Страницы 52–60

 

Авторы

Н. И. Гиль, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: GilMI@i.ua, ORCID: 0000-0003-0381-0925

В. Н. Пацук, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: vmpatsuk@gmail.com, ORCID: 0000-0003-3350-4515

 

Аннотация

В настоящее время значительно возрастает интерес к практическим задачам математического моделирования размещения геометрических объектов различной физической природы в заданных областях. При решении таких задач возникает необходимость в построении их математических моделей, которые реализуются через построение аналитических условий отношений размещаемых объектов и областей размещения. Задача построения условий взаимного непересечения произвольно ориентированных объектов, границы которых образованы кривыми второго порядка, имеет широкое применение на практике и в то же время исследована значительно меньше, чем аналогичная задача для более простых объектов. Плодотворным и отработанным методом представления таких условий является построение Φ-функций и квази-Φ-функций. В настоящей статье в качестве геометрических объектов рассматриваются эллипс и область, ограниченная параболой. Границы рассматриваемых объектов допускают как неявное, так и параметрическое представление. Предлагаемый подход к моделированию геометрических отношений эллипсов и областей, ограниченных параболами, основан на преобразовании координат, приведении уравнения эллипса к уравнению круга с использованием канонического преобразования. В частности, построены условия включения эллипса в область, ограниченную параболой, а также условия их взаимного непересечения. Построение условий взаимоотношений рассматриваемых геометрических объектов осуществлено на основе канонических уравнений эллипса и параболы с учётом их параметров размещения, включая повороты. Эти условия представлены в виде системы неравенств, а также в виде единого аналитического выражения. Представленные условия могут быть использованы при построении адекватных математических моделей оптимизационных задач размещения соответствующих геометрических объектов для аналитического описания областей допустимых решений. Эти модели могут использоваться далее в формулировке математических моделей задач упаковки и раскроя, расширяя круг объектов и/или повышая точность и снижая время получения решения задачи.

 

Ключевые слова: эллипс, парабола, непересечение, включение, Φ-функция.

 

Полный текст: загрузить PDF

 

Литература

  1. Stoyan Yu., Pankratov A., Romanova T., Fasano G., Pintér J., Stoian Yu. E., Chugay A. Optimized packings in space engineering applications: Part I. In: Fasano G., Pintér J. (eds.). Modeling and Optimization in Space Engineering. Springer Optimization and Its Appl. 2019. Vol. 144. P. 395–437. https://doi.org/10.1007/978-3-030-10501-3_15.
  2. Стоян Ю. Г., Панкратов А. В., Романова Т. Е., Чернов Н. И. Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов. Доп. НАН України. 2014. № 9. С. 49–54.
  3. Chernov N., Stoyan Yu., Romanova T., Pankratov A. Phi-functions for 2D objects formed by line segments and circular arcs. Advances in Operations Research. 2012. Vol. 2012. P. 1–26. https://doi.org/10.1155/2012/346358.
  4. Stoyan Y., Pankratov A., Romanova T. Quasi-phi-functions and optimal packing of ellipses. J. Global Optimization. 2016. Vol. 65. Iss. 2. P. 283–307. https://doi.org/10.1007/s10898-015-0331-2.
  5. Birgin E., Bustamante L., Callisaya H., Martnez J. Packing circles within ellipses. Intern. Transactions in Operational Research. 2013. Vol. 20. No. 3. P. 365–389. https://doi.org/10.1111/itor.12006.
  6. Панкратов А. В., Романова Т. Е., Суббота И. А. Разработка эффективных алгоритмов оптимальной упаковки эллипсов. Восточно-Европейский журнал  передовых технологий. 2014. Т. 5. № 4 (71). С. 28–35. https://doi.org/10.15587/1729-4061.2014.28015.
  7. Панкратов А. В., Романова Т. Е., Хлуд О. М. О задаче упаковки эллипсов. Журн. обчислювальної та прикл. математики. 2016. № 3 (123). С. 51–63.
  8. Pankratov A., Romanova T., Litvinchev I. Packing ellipses in an optimized rectangular container. Wireless Netw. 2018. Р. 1–11. https://doi.org/10.1007/s11276-018-1890-1.
  9. Stoyan Y., Pankratov A., Romanova T. Quasi-phi-functions and optimal packing of ellipses. J. Global Optimization. 2016. Vol. 65. P. 283–307. https://doi.org/10.1007/s10898-015-0331-2.
  10. Komyak V., Komyak V., Danilin A. A study of ellipse packing in the high-dimensionality problems. Eastern-European J. Enterprise Technologies. 2017. Vol. 1. No. 4 (85). P. 17–23. https://doi.org/10.15587/1729-4061.2017.91902.
  11. Koрн Г., Корн T. Справочник по математике для работников и инженеров. M.: Нaукa, 1984. 832 с.

 

Поступила в редакцию 28 февраля 2020 г.

Принята в печать