Решение обратной задачи по идентификации тензора теплопроводности в анизотропных материалах

image_print
DOI https://doi.org/10.15407/pmach2021.03.006
Журнал Проблемы машиностроения
Издатель Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного Национальной академии наук Украины
ISSN 2709-2984 (print), 2709-2992 (online)
Выпуск Том 24, № 3, 2021 (сентябрь)
Страницы 6–13

 

Авторы

Ю. М. Мацевитый, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: matsevit@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0002-6127-0341

В. В. Ганчин, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), e-mail: gan4ingw@gmail.com, ORCID: 0000-0001-9242-6460

 

Аннотация

На основе теории регуляризации А. Н. Тихонова разработана методика решения обратных задач теплопроводности по идентификации тензора теплопроводности в двухмерной области. Такие задачи заменяются на задачи по идентификации главных коэффициентов теплопроводности и угла ориентации главных осей, а главные коэффициенты аппроксимируются кубическими сплайнами Шёнберга. В  результате задача  сводится к определению неизвестных коэффициентов в этих аппроксимациях и угла ориентации главных осей. При известных граничных и начальных условиях температура в области будет зависеть только от этих коэффициентов и угла ориентации. Если  выразить её по формуле Тейлора для двух членов ряда и подставить в функционал Тихонова, то определение приращений коэффициентов и приращения угла ориентации можно свести к решению системы линейных уравнений относительно этих приращений. Выбрав некоторый параметр регуляризации и некоторые функции для главных коэффициентов теплопроводности и угла ориентации в качестве начального приближения, можно реализовать итерационный процесс определения этих коэффициентов. Получив векторы коэффициентов и угол ориентации в результате сходящегося итерационного процесса, можно определить среднеквадратическую невязку между получаемой температурой и температурой, измеренной в результате проведенного эксперимента. Остается подобрать параметр регуляризации таким образом, чтобы эта невязка была в пределах среднеквадратичной погрешности ошибки измерений. При проверке эффективности использования предложенного метода решен ряд двухмерных тестовых задач для тел с известными тензорами теплопроводности. Проанализировано влияние случайных погрешностей измерений на погрешность идентификации тензора теплопроводности.

 

Ключевые слова: внутренняя обратная задача теплопроводности, тензор теплопроводности, метод регуляризации А. Н. Тихонова, стабилизирующий функционал, параметр регуляризации, идентификация, аппроксимация, кубические сплайны Шёнберга.

 

Полный текст: загрузить PDF

 

Литература

  1. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: в 2-х т. Т. 1: Методология. Киев: Наук. думка, 2002. 408 с.
  2. Алифанов  О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.
  3. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
  4. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. (мл.) Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 312 с.
  5. Формалев В. Ф. Теплоперенос в анизотропных твердых телах. Численные методы, тепловые волны, обратные задачи. М.: Физматлит, 2015. 280 с.
  6. Кузнецова Е. Л. Восстановление характеристик тензора теплопроводности на основе аналитического решения задачи теплопереноса в анизотропном полупространстве. Теплофизика высоких температур. 2011. Т. 49. № 6. С. 1–8.
  7. Формалёв В. Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах. Обзор. Теплофизика высоких температур. 2001. Т. 39. № 5. С. 810–832.
  8. Колесник С. А. Метод численного решения обратных нелинейных задач по восстановлению компонентов тензора теплопроводности анизотропных материалов. Вычисл. технологии. 2013. Т. 18. № 1. С. 34–44.
  9. Маtsevytyi Yu. М., Hanchyn V. V. Multiparametric identification of several thermophysical characteristics by solving the internal inverse heat conduction problem. J. Mech. Eng. – Problemy Mashynobuduvannia. 2020. Vol. 23. No. 2. Р. 14–20. https://doi.org/10.15407/pmach2020.02.014.
  10. Маtsevytyi Yu. М., Hanchyn V. V. To the solution of geometric inverse heat conduction problems. J. Mech. Eng. – Problemy Mashynobuduvannia. 2021. Vol. 24. No. 1. P. 6–12. https://doi.org/10.15407/pmach2021.01.006.
  11. Круковский П. Г. Обратные задачи тепломассопереноса (общий инженерный подход). Киев: Ин-т техн. теплофизики НАН Украины, 1998. 224 с.
  12. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П., Ганчин В. В. Регионально-аналитическое моделирование и идентификация тепловых потоков с использованием метода регуляризации А. Н. Тихонова. Пробл. машиностроения. 1999. Т. 2. № 1–2. С. 34–42.
  13. Мацевитый Ю. М., Сафонов Н. А., Ганчин В. В. К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности. Пробл. машиностроения. 2016. Т. 19. № 1. С. 28–36. https://doi.org/10.15407/pmach2016.01.028.

 

Поступила в редакцию 29 марта 2021 г.