Розв’язання оберненої задачі з ідентифікації тензора теплопровідності в анізотропних матеріалах

image_print
DOI https://doi.org/10.15407/pmach2021.03.006
Журнал Проблеми машинобудування
Видавець Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України
ISSN 2709-2984 (print), 2709-2992 (online)
Випуск Том 24, № 3, 2021 (вересень)
Сторінки 6–13

 

Автори

Ю. М. Мацевитий, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: matsevit@ipmach.kharkov.ua, ORCID: 0000-0002-6127-0341

В. В. Ганчин, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: gan4ingw@gmail.com, ORCID: 0000-0001-9242-6460

 

Анотація

На основі теорії регуляризації А. М. Тихонова розроблено методику розв’язання обернених задач теплопровідності з ідентифікації тензора теплопровідності двовимірної області. Ці задачі замінюються на задачі з ідентифікациї головних коефіцієнтів та кута орієнтації головних осей, а головні коефіцієнти апроксимуються кубічними сплайнами Шьонберга. В результаті задача зводиться до визначення невідомих коефіцієнтів в цих апроксимаціях і кута орієнтації головних осей. За відомих граничних і початкових умов температура в області буде залежати тільки від цих коефіцієнтів і кута орієнтації. Якщо виразити її за формулою Тейлора для двох членів ряду і підставити в функціонал Тихонова, то визначення збільшень коефіцієнтів і збільшення кута орієнтації можна звести до розв’язання системи лінійних рівнянь щодо цих збільшень. Вибравши певний параметр регуляризації і деякі функції для головних коефіцієнтів теплопровідності і кута орієнтації як початкове наближення, можна реалізувати ітераційний процес визначення цих коефіцієнтів. Отримавши вектори коефіцієнтів і кут орієнтації в результаті збігального ітераційного процесу, можна визначити середньоквадратичну нев’язку між одержуваною температурою і температурою, яка вимірюється в результаті проведеного експерименту. Залишається підібрати параметр регуляризації таким чином, щоб ця нев’язка була в межах середньоквадратичної похибки помилки вимірювань. Під час перевірки ефективності використання запропонованого методу розв’язано ряд двомірних тестових задач для тіл з відомими тензорами теплопровідності. Проаналізовано вплив випадкових похибок вимірювань на похибка ідентифікації тензора теплопровідності.

 

Ключові слова: внутрішня обернена задача теплопровідності, тензор теплопровідності, метод регуляризації А. М. Тихонова, стабілізуючий функціонал, параметр регуляризації, ідентифікація, апроксимація, кубічні сплайни Шьонберга.

 

Література

  1. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: в 2-х т. Т. 1: Методология. Киев: Наук. думка, 2002. 408 с.
  2. Алифанов  О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.
  3. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
  4. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. (мл.) Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 312 с.
  5. Формалев В. Ф. Теплоперенос в анизотропных твердых телах. Численные методы, тепловые волны, обратные задачи. М.: Физматлит, 2015. 280 с.
  6. Кузнецова Е. Л. Восстановление характеристик тензора теплопроводности на основе аналитического решения задачи теплопереноса в анизотропном полупространстве. Теплофизика высоких температур. 2011. Т. 49. № 6. С. 1–8.
  7. Формалёв В. Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах. Обзор. Теплофизика высоких температур. 2001. Т. 39. № 5. С. 810–832.
  8. Колесник С. А. Метод численного решения обратных нелинейных задач по восстановлению компонентов тензора теплопроводности анизотропных материалов. Вычисл. технологии. 2013. Т. 18. № 1. С. 34–44.
  9. Маtsevytyi Yu. М., Hanchyn V. V. Multiparametric identification of several thermophysical characteristics by solving the internal inverse heat conduction problem. J. Mech. Eng. – Problemy Mashynobuduvannia. 2020. Vol. 23. No. 2. Р. 14–20. https://doi.org/10.15407/pmach2020.02.014.
  10. Маtsevytyi Yu. М., Hanchyn V. V. To the solution of geometric inverse heat conduction problems. J. Mech. Eng. – Problemy Mashynobuduvannia. 2021. Vol. 24. No. 1. P. 6–12. https://doi.org/10.15407/pmach2021.01.006.
  11. Круковский П. Г. Обратные задачи тепломассопереноса (общий инженерный подход). Киев: Ин-т техн. теплофизики НАН Украины, 1998. 224 с.
  12. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П., Ганчин В. В. Регионально-аналитическое моделирование и идентификация тепловых потоков с использованием метода регуляризации А. Н. Тихонова. Пробл. машиностроения. 1999. Т. 2. № 1–2. С. 34–42.
  13. Мацевитый Ю. М., Сафонов Н. А., Ганчин В. В. К решению нелинейных обратных граничных задач теплопроводности. Пробл. машиностроения. 2016. Т. 19. № 1. С. 28–36. https://doi.org/10.15407/pmach2016.01.028.

 

Надійшла до редакції 29 березня 2021 р.