Побудова геометричних співвідношень еліпсів та областей, обмежених параболою, в задачах розміщення геометричних об’єктів

image_print
DOI https://doi.org/10.15407/pmach2020.02.052
Журнал Проблеми машинобудування
Видавець Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України
ISSN 0131-2928 (print), 2411-0779 (online)
Випуск Том 23, № 2, 2020 (червень)
Сторінки 52–60

 

Автори

М. І. Гіль, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: GilMI@i.ua, ORCID: 0000-0003-0381-0925

В. М. Пацук, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України (61046, Україна, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10), e-mail: vmpatsuk@gmail.com, ORCID: 0000-0003-3350-4515

 

Анотація

На цей час значно зростає інтерес до практичних задач математичного моделювання розміщення геометричних об’єктів різної фізичної природи в заданих областях. Під час розв’язання таких задач виникає необхідність в побудові їхніх математичних моделей, які реалізуються через побудову аналітичних умов відношень розміщуваних об’єктів і областей розміщення. Задача побудови умов взаємного неперетину довільно орієнтованих об’єктів, межі яких утворені кривими другого порядку, має широке застосування на практиці і водночас досліджена значно менше, ніж аналогічна задача для більш простих об’єктів. Плідним і відпрацьованим методом опису таких умов є побудова Φ-функцій і квазі-Φ-функцій. У даній статті як геометричні об’єкти розглядаються еліпс і область, обмежена параболою. Межі об’єктів, що розглядаються, допускають як неявне, так і параметричне зображення. Запропонований підхід до моделювання геометричних відношень еліпсів і областей, обмежених параболами, ґрунтується на перетворенні координат, приведенні рівняння еліпса до рівняння кола з використанням канонічного перетворення. Зокрема, побудовані умови включення еліпса в область, обмежену параболою, а також умови їх взаємного неперетину. Побудова умов взаємовідношень об’єктів, що розглядаються, здійснена на основі канонічних рівнянь еліпса і параболи з урахуванням їх параметрів розміщення, включаючи обертання. Ці умови зображені у вигляді системи нерівностей, а також у вигляді єдиного аналітичного виразу. Зображені умови можуть бути використані під час побудови адекватних математичних моделей оптимізаційних задач розміщення відповідних геометричних об’єктів для аналітичного опису областей допустимих розв’язків. Ці моделі можуть використовуватися далі в формулюванні математичних моделей практичних задач упаковки та розкрою, розширюючи коло об’єктів та/або підвищуючи точність і знижуючи час отримання розв’язання.

 

Ключові слова: еліпс, парабола, неперетин, включення, Φ-функція.

 

Література

  1. Stoyan Yu., Pankratov A., Romanova T., Fasano G., Pintér J., Stoian Yu. E., Chugay A. Optimized packings in space engineering applications: Part I. In: Fasano G., Pintér J. (eds.). Modeling and Optimization in Space Engineering. Springer Optimization and Its Appl. 2019. Vol. 144. P. 395–437. https://doi.org/10.1007/978-3-030-10501-3_15.
  2. Стоян Ю. Г., Панкратов А. В., Романова Т. Е., Чернов Н. И. Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов. Доп. НАН України. 2014. № 9. С. 49–54.
  3. Chernov N., Stoyan Yu., Romanova T., Pankratov A. Phi-functions for 2D objects formed by line segments and circular arcs. Advances in Operations Research. 2012. Vol. 2012. P. 1–26. https://doi.org/10.1155/2012/346358.
  4. Stoyan Y., Pankratov A., Romanova T. Quasi-phi-functions and optimal packing of ellipses. J. Global Optimization. 2016. Vol. 65. Iss. 2. P. 283–307. https://doi.org/10.1007/s10898-015-0331-2.
  5. Birgin E., Bustamante L., Callisaya H., Martnez J. Packing circles within ellipses. Intern. Transactions in Operational Research. 2013. Vol. 20. No. 3. P. 365–389. https://doi.org/10.1111/itor.12006.
  6. Панкратов А. В., Романова Т. Е., Суббота И. А. Разработка эффективных алгоритмов оптимальной упаковки эллипсов. Восточно-Европейский журнал  передовых технологий. 2014. Т. 5. № 4 (71). С. 28–35. https://doi.org/10.15587/1729-4061.2014.28015.
  7. Панкратов А. В., Романова Т. Е., Хлуд О. М. О задаче упаковки эллипсов. Журн. обчислювальної та прикл. математики. 2016. № 3 (123). С. 51–63.
  8. Pankratov A., Romanova T., Litvinchev I. Packing ellipses in an optimized rectangular container. Wireless Netw. 2018. Р. 1–11. https://doi.org/10.1007/s11276-018-1890-1.
  9. Stoyan Y., Pankratov A., Romanova T. Quasi-phi-functions and optimal packing of ellipses. J. Global Optimization. 2016. Vol. 65. P. 283–307. https://doi.org/10.1007/s10898-015-0331-2.
  10. Komyak V., Komyak V., Danilin A. A study of ellipse packing in the high-dimensionality problems. Eastern-European J. Enterprise Technologies. 2017. Vol. 1. No. 4 (85). P. 17–23. https://doi.org/10.15587/1729-4061.2017.91902.
  11. Koрн Г., Корн T. Справочник по математике для работников и инженеров. M.: Нaукa, 1984. 832 с.

 

Надійшла до редакції 28 лютого 2020 р.

Прийнята до друку